Probar lo siguiente?

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Compruebe a continuación.

Explicación:

# int_1 ^ 2 ((e ^ x-lnx) / x ^ 2-1) dx> 0 # #<=>#

# int_1 ^ 2 ((e ^ x-lnx) / x ^ 2) dx> int_1 ^ 2 (1) dx # #<=>#

# int_1 ^ 2 ((e ^ x-lnx) / x ^ 2) dx> x _1 ^ 2 # #<=># #<=>#

# int_1 ^ 2 ((e ^ x-lnx) / x ^ 2) dx> 2-1 # #<=>#

# int_1 ^ 2 ((e ^ x-lnx) / x ^ 2) dx> 1 #

Tenemos que demostrar que

# int_1 ^ 2 ((e ^ x-lnx) / x ^ 2) dx> 1 #

Considera una función #f (x) = e ^ x-lnx #, #x> 0 #

De la gráfica de # C_f # podemos notar que para #x> 0 #

tenemos # e ^ x-lnx> 2 #

Explicación:

#f (x) = e ^ x-lnx #, #X##en##1/2,1#

#f '(x) = e ^ x-1 / x #

#f '(1/2) = sqrte-2 <0 #

#f '(1) = e-1> 0 #

De acuerdo con el teorema de Bolzano (valor intermedio) tenemos #f '(x_0) = 0 # #<=># # e ^ (x_0) -1 / x_0 = 0 # #<=>#

# e ^ (x_0) = 1 / x_0 # #<=># # x_0 = -lnx_0 #

La distancia vertical es entre # e ^ x # y # lnx # es mínimo cuando #f (x_0) = e ^ (x_0) -lnx_0 = x_0 + 1 / x_0 #

Tenemos que demostrar que #f (x)> 2 #, # AAx ##>0#

#f (x)> 2 # #<=># # x_0 + 1 / x_0> 2 # #<=>#

# x_0 ^ 2-2x_0 + 1> 0 # #<=># # (x_0-1) ^ 2> 0 # #-># cierto para #x> 0 #

gráfica {e ^ x-lnx -6.96, 7.09, -1.6, 5.42}

# (e ^ x-lnx) / x ^ 2> 2 / x ^ 2 #

# int_1 ^ 2 ((e ^ x-lnx) / x ^ 2) dx> int_1 ^ 2 (2 / x ^ 2) dx # #<=>#

# int_1 ^ 2 ((e ^ x-lnx) / x ^ 2) dx> - 2 / x _1 ^ 2 # #<=>#

# int_1 ^ 2 ((e ^ x-lnx) / x ^ 2) dx> ##-1+2# #<=>#

# int_1 ^ 2 ((e ^ x-lnx) / x ^ 2) dx> 1 # #<=>#

# int_1 ^ 2 ((e ^ x-lnx) / x ^ 2-1) dx> 0 #