Responder:
El vértice de # y # es el punto #(-1.25, 26.875)#
Explicación:
Para una parábola en forma estándar: # y = ax ^ 2 + bx + c #
el vértice es el punto donde #x = (- b) / (2a) #
NB: Este punto será un máximo o mínimo de # y # dependiendo del signo de #una#
En nuestro ejemplo: # y = 2x ^ 2 + 5x + 30 -> a = 2, b = 5, c = 30 #
#:. x_ "vértice" = (-5) / (2xx2) #
#= -5/4 = -1.25#
Reemplazo de #X# en # y #
#y_ "vértice" = 2xx (-5/4) ^ 2 + 5xx (-5/4) + 30 #
# = 2xx25 / 16 - 25/4 + 30 #
#= 50/16 -100/16+30 = -50/16+30#
#=26.875#
El vértice de # y # es el punto #(-1.25, 26.875)#
Podemos ver este punto como el mínimo de # y # en la gráfica de abajo.
gráfica {2x ^ 2 + 5x + 30 -43.26, 73.74, -9.2, 49.34}
Para encontrar el vértice, lo más fácil de hacer (además de graficar el problema) es convertir la ecuación en forma de vértice. Para ello, deberíamos "completar el cuadrado".
# y = 2x ^ 2 + 5x + 30 #
el coeficiente principal debe ser #1#, así que factoriza la #2#
# y = 2 (x ^ 2 + 5 / 2x + 6) #
Necesitamos encontrar un valor que cambie. # x ^ 2 + 5 / 2x + 6 # en una plaza perfecta.
Para hacer eso, tenemos que tomar el mediano plazo, #5/2#, y dividirlo por #2#. Eso nos da #5/4#.
Nuestro siguiente paso es cuadrar el resultado: #(5/4)^2#o #25/16#
#- - - - - - - - - - - - - - #
Ahora tenemos nuestro valor perdido: # x ^ 2 + 5 / 2x + 6 + 25/16 # ESPERE ¡No podemos simplemente añadir algo a un problema! Pero, si agregamos algo y luego lo restamos, técnicamente no hemos cambiado la ecuación, ya que se restan a cero
Entonces, nuestro problema realmente es # x ^ 2 + 5 / 2x + 6 + 25/16 -25 / 16 #
Vamos a reescribir esto: # x ^ 2 + 5 / 2x + 25/16 + 6-25 / 16 #
# x ^ 2 + 5 / 2x + 25/16 # Es un cuadrado perfecto. Vamos a reescribirlo en esa forma: # (x + 5/4) ^ 2 #
Ahora veamos nuestra ecuación de nuevo: # (x + 5/4) ^ 2 + 6-25 / 16 #
Combinemos términos semejantes: # (x + 5/4) ^ 2 + 71/16 #
Ahora tenemos la ecuación en forma de vértice, y podemos encontrar el vértice muy fácilmente desde aquí
# (x + color (rojo) (5/4)) ^ 2 + color (amarillo) (71/16) #
# (- color (rojo) (x), color (amarillo) (y)) #
# (- color (rojo) (5/4), color (amarillo) (71/16)) #
Ese es el vértice.
Para revisar nuestro trabajo, vamos a graficar nuestra ecuación y ver el vértice
gráfica {y = 2x ^ 2 + 5x + 30}
¡Estábamos en lo cierto! #-1.25# y #4.4375# son equivalentes a #-25/16# y #71/16#
