¿Cómo encuentras las asíntotas para y = (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3))?

Responder:

Vertical

# x = 1 #

# x = 3 #

Horizontal

# x = 1 # (para ambos # + - oo #)

Oblicuo

No existe

Explicación:

Dejar # y = f (x) #

• Asíntotas verticales

Encuentra los límites de la función, ya que tiende a los límites de su dominio, excepto el infinito. Si su resultado es infinito, entonces ese #X# La línea es una asíntota. Aquí, el dominio es:

#x en (-oo, 1) uu (1,3) uu (3, + oo) #

Así que el 4 posible Las asíntotas verticales son:

#lim_ (x-> 1 ^ -) f (x) #

#lim_ (x-> 1 ^ +) f (x) #

#lim_ (x-> 3 ^ -) f (x) #

#lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) #

Asíntota # x-> 1 ^ - #

#lim_ (x-> 1 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 1 ^ -) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 2 ^ 2 / (0 ^ - * (- 2)) = #

# = - 2 ^ 2 / (0 * (- 2)) = 4 / (0 * 2) = 4/0 = + oo # Asíntota vertical para # x = 1 #

Nota: para # x-1 # ya que #X# es ligeramente inferior a 1, el resultado será algo inferior a 0, por lo que el signo será negativo, por lo tanto, la nota #0^-# que más tarde se traduce en un signo negativo.

Confirmación para la asíntota # x-> 1 ^ + #

#lim_ (x-> 1 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 1 ^ +) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 2 ^ 2 / (0 ^ + * (- 2)) = #

# = 2 ^ 2 / (0 * (- 2)) = - 4 / (0 * 2) = - 4/0 = -oo # Confirmado

Asíntota # x-> 3 ^ - #

#lim_ (x-> 3 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 3 ^ -) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 3 ^ 2 / (2 * 0 ^ -) = #

# = - 3 ^ 2 / (2 * 0) = - 9/0 = -oo # Asíntota vertical para # x = 3 #

Confirmación para la asíntota # x-> 3 ^ + #

#lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 3 ^ +) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 3 ^ 2 / (2 * 0 ^ +) = #

# = 3 ^ 2 / (2 * 0) = 9/0 = + oo # Confirmado

• Asíntotas horizontales

Encuentra ambos límites ya que la función tiende a # + - oo #

Menos infinito #x -> - oo #

#lim_ (x -> - oo) f (x) = lim_ (x -> - oo) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = #

# = lim_ (x -> - oo) (x ^ 2 + 2x + 1) / (x ^ 2-4x-3) = lim_ (x -> - oo) (x ^ 2 (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (x ^ 2 (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = #

# = lim_ (x -> - oo) (cancelar (x ^ 2) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (cancelar (x ^ 2) (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = lim_ (x -> - oo) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2) / (1-4 / x-3 / x ^ 2) = #

#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# Asíntota horizontal para # y = 1 #

Más infinito #x -> + oo #

#lim_ (x -> + oo) f (x) = lim_ (x -> + oo) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = #

# = lim_ (x -> + oo) (x ^ 2 + 2x + 1) / (x ^ 2-4x-3) = lim_ (x -> + oo) (x ^ 2 (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (x ^ 2 (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = #

# = lim_ (x -> + oo) (cancelar (x ^ 2) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (cancelar (x ^ 2) (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = lim_ (x -> + oo) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2) / (1-4 / x-3 / x ^ 2) = #

#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# Asíntota horizontal para # y = 1 #

Nota: da la casualidad de que esta función tiene una horizontal común para ambos # -oo # y # + oo #. Siempre debes comprobar ambos.

• Asíntotas oblicuas

Primero debes encontrar ambos límites:

#lim_ (x -> + - oo) f (x) / x #

Para cada uno, si este límite es un número real, entonces existe la asíntota y el límite es su pendiente. los # y # La intersección de cada uno es el límite:

#lim_ (x -> + - oo) (f (x) -m * x) #

Sin embargo, para evitar el problema, puede usar alguna función "conocimiento" para evitar esto. Ya que sabemos #f (x) # Tiene asíntota horizontal para ambos. # + - oo # La única forma de tener un oblicuo es tener otra línea como #x -> + - oo #. Sin embargo, #f (x) # es un #1-1# funciona así que no puede haber dos # y # valores para uno #X#, por lo tanto, una segunda línea es imposible, por lo que es imposible tener asíntotas oblicuas.