¿Qué es int (cos (x)) ^ 4 dx?

Responder:

#int (cos (x)) ^ 4 dx = 1/32 12x + 8sin (2x) + sin (4x) #

Explicación:

Si bien inicialmente parece ser una integral realmente molesta, podemos explotar las identidades trigonométricas para dividir esta integral en una serie de integrales simples con las que estamos más familiarizados.

La identidad que usaremos es:

# cos ^ 2 (x) = (1 + cos (2x)) / 2 #

Esto nos permite manipular nuestra ecuación como tal:

#int cos ^ 4 (x) dx = int (1 + cos (2x)) / 2 * (1 + cos (2x)) / 2dx #

# = 1/4 int (1 + cos (2x)) (1 + cos (2x)) dx #

# = 1 / 4int (1+ 2cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) dx #

Ahora podemos aplicar nuestra regla nuevamente para eliminar el cos ^ 2 (2x) dentro de la paréntesis:

# 1 / 4int (1+ 2cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) dx #

# = 1 / 4int (1+ 2cos (2x) + (1 + cos (4x)) / 2) dx #

# = 1 / 8int (2+ 4cos (2x) + 1 + cos (4x)) dx #

# = 1 / 8int (3+ 4cos (2x) + cos (4x)) dx #

Ahora que en realidad tenemos un problema de integración bastante simple, podemos distribuir la integral en nuestra paréntesis para que:

# = 1/8 int3dx + 4intcos (2x) dx + intcos (4x) dx #

Cada una de estas integrales trigonométricas se maneja con la regla simple de que #int cos (ax) dx = 1 / a sin (ax) #.

Así, # = 1/8 3x + 2 sin (2x) + 1/4 sin (4x) #

# = 1/32 12x + 8sin (2x) + sin (4x) #