¿Cuál es la serie de Taylor de f (x) = arctan (x)?

#f (x) = suma_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} #

Veamos algunos detalles.

#f (x) = arctanx #

#f '(x) = 1 / {1 + x ^ 2} = 1 / {1 - (- x ^ 2)} #

Recuerda que la serie de potencias geométricas.

# 1 / {1-x} = suma_ {n = 0} ^ infty x ^ n #

por reemplazo #X# por # -x ^ 2 #, #Rightarrow 1 / {1 - (- x ^ 2)} = sum_ {n = 0} ^ infty (-x ^ 2) ^ n = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} #

Asi que, #f '(x) = suma_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} #

Al integrar, #f (x) = int sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} dx #

al poner el signo integral dentro de la suma, # = sum_ {n = 0} ^ infty int (-1) ^ n x ^ {2n} dx #

por Regla de Poder, # = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} + C #

Ya que #f (0) = arctan (0) = 0 #, #f (0) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {(0) ^ {2n + 1}} / {2n + 1} + C = C Rightarrow C = 0 #

Por lo tanto, #f (x) = suma_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} #

¿Es una pregunta sobre la serie de temas de la serie geométrica?

R = -2/7 s_oo = a / (1-r) para | r | <1 => (3a) / (1-r) = (a) / (1 - (- 2r)) => 3 / (1-r) = 1 / (1 + 2r) => 3 + 6r = 1 - r => r = -2/7

El término r _ ("th") de una serie geométrica es (2r + 1) cdot 2 ^ r. ¿La suma del primer n término de la serie es qué?

(4n-2) * 2 ^ n + 3 S = suma_ {r = 0} ^ n 2r * 2 ^ r + suma_ {r = 0} ^ n 2 ^ r S = suma_ {r = 1} ^ nr * 2 ^ (r + 1) + (1 - 2 ^ {n + 1}) / (1 - 2) S = a_ {01} (1 - 2 ^ n) / (1-2) + ... + a_ { 0n} (1 - 2 ^ {n- (n-1)}) / (1-2) + 2 ^ {n + 1} - 1 1 * 2 ^ 2 + 1 * 2 ^ 3 + 1 * 2 ^ 4 + 1 * 2 ^ 3 + 1 * 2 ^ 4 + 1 * 2 ^ 4 S = sum_ {i = 0} ^ {n-1} 2 ^ {i + 2} (2 ^ (n - i) - 1) + 2 ^ {n + 1} - 1 S = 4 sum_ {i = 0} ^ {n-1} (2 ^ n - 2 ^ i) + 2 ^ {n + 1} - 1 S = 4 * 2 ^ n * n - 4 * (2 ^ n - 1) + 2 ^ {n + 1} - 1 S = (4n-2) * 2 ^ n + 3 Vamos a verificar S = 1 * 2 ^ 0 + 3 * 2 ^ 1 + 5 * 2 ^ 2 + 7 * 2 ^ 3 + cdots S = 1 + 6 + 20 + 56 + cdots S (0

¿Cómo encuentras una representación de la serie de potencias para (arctan (x)) / (x) y cuál es el radio de convergencia?

Integrar la serie de potencias de la derivada de arctan (x) y luego dividir por x. Sabemos que la representación en serie de potencias de 1 / (1-x) = sum_nx ^ n AAx es tal que absx <1. Entonces 1 / (1 + x ^ 2) = (arctan (x)) '= sum_n (-1) ^ nx ^ (2n). Así que la serie de potencias de arctan (x) es intsum_n (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n int (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n + 1).Lo divides por x, descubres que la serie de potencias de arctan (x) / x es sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n). Digamos que u_n = ((-1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) Para encontrar el radio de convergencia de est