¿Cuál es la ecuación de la línea normal de f (x) = x ^ 3-49x ^ 2 + 7x en x = 7?

Responder:

# y = 1 / 532x-2009.013 #

Explicación:

La línea normal en un punto es la línea perpendicular a la línea tangente en ese punto. Cuando resolvemos problemas de este tipo, encontramos la pendiente de la línea tangente utilizando la derivada, la usamos para encontrar la pendiente de la línea normal y usamos un punto de la función para encontrar la ecuación de la línea normal.

Paso 1: Pendiente de la Línea Tangente

Todo lo que hacemos aquí es tomar la derivada de la función y evaluarla en # x = 7 #:

#y '= 3x ^ 2-98x + 7 #

#y '(7) = 3 (7) ^ 2-98 (7) + 7 #

#y '(7) = -532 #

Eso significa que la pendiente de la línea tangente en # x = 7 # es -532.

Paso 2: Pendiente de la línea normal

La pendiente de la línea normal es simplemente el inverso de la pendiente de la línea tangente (porque estas dos son perpendiculares). Así que simplemente cambiamos -532 y hacemos que sea positivo obtener #1/532# como la pendiente de la línea normal.

Paso final: encontrar la ecuación

Las ecuaciones de línea normales son de la forma # y = mx + b #, dónde # y # y #X# son puntos en la linea, #metro# es la pendiente, y #segundo# es el # y #-interceptar. Tenemos la pendiente, #metro#, que es lo que encontramos en el paso dos: #1/532#. Los puntos #X# y # y # Se puede encontrar fácilmente sustituyendo # x = 7 # en la ecuación y resolviendo para # y #:

# y = (7) ^ 3-49 (7) ^ 2 + 7 (7) #

#y = -2009 #

Ahora podemos usar toda esta información para encontrar #segundo#, la # y #-interceptar:

# y = mx + b #

# -2009 = (1/532) (7) + b #

# -2009 = 7/532 + b #

# -2009-7 / 532 = b #

Podemos aproximarnos a -2009.013, o si realmente quisiéramos, también podríamos aproximarnos a -2009.

La ecuación de la recta normal es así. # y = 1 / 532x-2009.013 #.