¿Por qué es (x + h) ^ 2 <k lo mismo que -k <x + h <k?

Responder:

# "Solo una cosa menor: lo que pidió, como se indica en incorrecto".

# "Pero hay una corrección natural, que es lo que creo" #

# "significaba. Déjame tomar esto como lo que significaba:" #

# "¿Por qué es" (x + h) ^ 2 <k "lo mismo que" - sqrt {k} <x + h <sqrt {k} "?" #

# "Vamos a mostrar eso. Vamos a empezar con la dirección hacia adelante. Nosotros" #

# "ver:" #

# qquad qquad qquad qquad qquad (x + h) ^ 2 <k quad => quad (x + h) ^ 2 <(sqrt {k}) ^ 2. #

# "Así que aquí tenemos ahora:" #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad (x + h) ^ 2 - (sqrt {k}) ^ 2 <0 #

# "Así que usando la diferencia de dos cuadrados, podemos factorizar el" #

# "lado izquierdo de la desigualdad anterior, y obtenemos:" #

# qquad qquad qquad quad (x + h) + (sqrt {k}) cdot (x + h) - (sqrt {k}) <0. qquad qquad qquad (1) #

# "Ahora, si el producto de 2 números (reales) es negativo, ¿qué puede" #

# "decimos de ellos? Deben tener signos opuestos -" #

# "uno negativo, el otro positivo". #

# "Esta es la situación en la desigualdad en (1). Así que concluimos:" #

# qquad (x + h) + (sqrt {k}) <0 qquad "y" qquad (x + h) - (sqrt {k})> 0 qquad (a) #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad "o" #

# qquad (x + h) + (sqrt {k})> 0 qquad "y" qquad (x + h) - (sqrt {k}) <0. qquad (b) #

# "Ahora mire las desigualdades del primer par - (a), y analícelas:" #

# qquad quad (x + h) + (sqrt {k}) <0 qquad "y" qquad (x + h) - (sqrt {k})> 0 #

# qquad qquad quad (x + h) <- (sqrt {k}) qquad "y" qquad (x + h)> + (sqrt {k}) #

# qquad qquad qquad qquad quad x + h <- sqrt {k} qquad "y" qquad x + h> sqrt {k} #

# qquad:. qquad qquad qquad qquad qquad quad sqrt {k} <x + h <- sqrt {k}. #

# "Tenga en cuenta que la triple desigualdad anterior es imposible, para ello" #

# "significaría que:" sqrt {k} <- sqrt {k}; "implicando un número positivo" #

# "podría ser más pequeño que un número negativo.Así, la desigualdad "#

# "en (a) es imposible. Así que concluimos que solo la desigualdad" #

# "en (b) puede ser verdadero. Por lo tanto:" #

# qquad quad (x + h) + (sqrt {k})> 0 qquad "y" qquad (x + h) - (sqrt {k}) <0. #

# "Analizando:" #

# qquad qquad quad (x + h)> - (sqrt {k}) qquad "y" qquad (x + h)> + (sqrt {k}) #

# qquad qquad qquad qquad quad x + h> - sqrt {k} qquad "y" qquad x + h <sqrt {k} #

# qquad:. qquad qquad qquad qquad quad -sqrt {k} <x + h <+ sqrt {k}. #

# "Así concluimos, finalmente, que:" #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad -sqrt {k} <x + h <+ sqrt {k}. #

# "Así que, indicando las cosas de principio a fin aquí, hemos mostrado:" #

# qquad qquad qquad quad (x + h) ^ 2 <k quad => quad -sqrt {k} <x + h <+ sqrt {k}. qquad quad quad (2) #

# "Esto muestra la dirección hacia adelante". #

# "Combinando los resultados en (2) y (5), vemos:" #

# (x + h) ^ 2 <k qquad "es exactamente lo mismo que" quad - sqrt {k} <x + h <sqrt {k}. #

# "Esto es lo que queríamos establecer". qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad square #