¿Cuál es el área encerrada por 2x + 3y <= 6?

Responder:

#A = 12 #

Explicación:

El valor absoluto viene dado por

# | a | = {(a, a> 0), (- a, a <0):} #

Como tal, habrá cuatro casos a considerar aquí. El área encerrada por # 2 | x | +3 | y | <= 6 # Va a ser el área encerrada por los cuatro casos diferentes. Estos son, respectivamente:

#diamond x> 0 y y> 0 #

# 2 | x | +3 | y | <= 6 #

# 2x + 3y <= 6 => y <= 2-2 / 3x #

La parte del área que buscamos será la definida por el gráfico.

#y = 2-2 / 3x #

y los ejes:

Como este es un triángulo rectángulo con vértices. #(0,2)#, #(3,0)# y #(0,0)#, sus patas tendrán longitudes. #2# y #3# y su área será:

# A_1 = (2 * 3) / 2 = 3 #

El segundo caso va a ser.

#diamond x <0 y y> 0 #

# 2 | x | +3 | y | <= 6 #

# -2x + 3y <= 6 => y <= 2 + 2 / 3x #

Nuevamente, el área necesaria será definida por el gráfico. # y = 2 + 2 / 3x # y los ejes:

Éste tiene vértices #(0,2)#, #(-3,0)# y #(0,0)#, una vez más teniendo patas de longitud. #2# y #3#.

# A_2 = (2 * 3) / 2 = 3 #

Claramente hay algún tipo de simetría aquí. Análogamente, la resolución de las cuatro áreas dará el mismo resultado; todos los triángulos tienen área #3#. Como tal, el área delimitada por

# 2 | x | + 3 | y | <= 6 #

# A = A_1 + A_2 + A_3 + A_4 = 4 * 3 = 12 #

Como se ve arriba, la forma descrita por # 2 | x | +3 | y | <= 6 # es un rombo.