¿Cuáles son algunos ejemplos de series convergentes?

¿Cuáles son algunos ejemplos de series convergentes?
Anonim

Responder:

Aquí hay tres ejemplos significativos …

Explicación:

Series geométricas

Si #abs (r) <1 # entonces la suma de la serie geométrica #a_n = r ^ n a_0 # es convergente

#sum_ (n = 0) ^ oo (r ^ n a_0) = a_0 / (1-r) #

Funcion exponencial

La serie definitoria # e ^ x # es convergente para cualquier valor de #X#:

# e ^ x = sum_ (n = 0) ^ oo x ^ n / (n!) #

Para probar esto, por cualquier dado. #X#, dejar #NORTE# ser un número entero mayor que #abs (x) #. Entonces #sum_ (n = 0) ^ N x ^ n / (n!) # converge ya que es una suma finita y #sum_ (n = N + 1) ^ oo x ^ n / (n!) # converge ya que el valor absoluto de la proporción de términos sucesivos es menor que #abs (x) / (N + 1) <1 #.

Problema de Basilea

El problema de Basilea, planteado en 1644 y resuelto por Euler en 1734, pedía el valor de la suma de recíprocos de cuadrados de enteros positivos:

#sum_ (n = 1) ^ oo 1 / (n ^ 2) = pi ^ 2/6 #