¿Cómo resolver para inte ^ xcosxdx?

Responder:

#int e ^ x cos (x) "d" x = 1 / 2e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

Explicación:

# I = int e ^ x cos (x) "d" x #

Vamos a utilizar la integración por partes, lo que establece que #int u "d" v = uv-int v "d" u #.

Utilice la integración por partes, con # u = e ^ x #, # du = e ^ x "d" x #, # "d" v = cos (x) "d" x #y # v = pecado (x) #:

# I = e ^ xsin (x) -int e ^ xsin (x) "d" x #

Utilice la integración por partes de nuevo a la segunda integral, con # u = e ^ x #, # "d" u = e ^ x "d" x #, # "d" v = sin (x) "d" x #y # v = -cos (x) #:

# I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -int e ^ xcos (x) "d" x #

Ahora, recordemos que definimos # I = int e ^ x cos (x) "d" x #. Por lo tanto, la ecuación anterior se convierte en la siguiente (recordando agregar una constante de integración):

# I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -I + C #

# 2I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) + C = e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

# I = 1 / 2e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

Responder:

Vea abajo.

Explicación:

Usando la identidad de de Moivre

# e ^ (ix) = cos x + i sen x # tenemos

#int e ^ x cos x dx = "Re" int e ^ x (cos x + i sen x) dx = "Re" int e ^ (x + ix) dx #

pero #int e ^ ((1 + i) x) dx = 1 / (1 + i) e ^ ((1 + i) x) = (1-i) / 2 e ^ x e ^ (ix) = #

# = (1-i) / 2e ^ x (cos x + isinx) = 1 / 2e ^ x (cosx + sinx) + i1 / 2e ^ x (sinx -cosx) #

y finalmente

#int e ^ x cos x dx = 1 / 2e ^ x (cosx + sinx) + C #