Pregunta # f3eb0

Responder:

#c = 2/3 #

Explicación:

por #f (x) # ser continuo en #x = 2 #, lo siguiente debe ser cierto:

• #lim_ (x-> 2) f (x) # existe
• #f (2) # existe (esto no es un problema aquí ya que #f (x) # está claramente definido en #x = 2 #

Investiguemos el primer postulado. Sabemos que para que exista un límite, Los límites de la mano izquierda y la derecha deben ser iguales.. Matemáticamente:

#lim_ (x-> 2 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 2 ^ +) f (x) #

Esto también muestra por qué solo estamos interesados en #x = 2 #: Es el único valor de #X# para lo cual esta función se define como cosas diferentes a la derecha y a la izquierda, lo que significa que existe la posibilidad de que los límites de la mano izquierda y derecha no sean iguales.

Intentaremos encontrar valores de 'c' para los cuales estos límites sean iguales.

Volviendo a la función por partes, vemos que a la izquierda de #2#, #f (x) = cx ^ 2 + 2x #. Alternativamente, a la derecha de #x = 2 #, vemos eso #f (x) = x ^ 3-cx #

Asi que:

#lim_ (x-> 2) cx ^ 2 + 2x = lim_ (x-> 2) x ^ 3 - cx #

Evaluando los límites:

# (2) ^ 2c + 2 (2) = (2) ^ 3 - (2) c #

# => 4c + 4 = 8 - 2c #

Desde aquí, solo es cuestión de resolver por #do#:

# 6c = 4 #

#c = 2/3 #

Qué hemos encontrado? Bueno, hemos descubierto un valor para #do# Eso hará que esta función sea continua en todas partes. Cualquier otro valor de #do# y los límites de la mano derecha e izquierda no serán iguales entre sí, y la función no será continua en todas partes.

Para tener una idea visual de cómo funciona esto, echa un vistazo a este gráfico interactivo que hice. Elige diferentes valores de #do#, y ver como la función deja de ser continua en #x = 2 #!

Espero que haya ayudado:)