¿Cómo se integra int x + cosx de [pi / 3, pi / 2]?

Responder:

La respuesta #int _ (pi / 3) ^ (pi / 2) x + cosx * dx = 0.8193637907356557 #

Explicación:

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#int _ (pi / 3) ^ (pi / 2) x + cosx * dx = 1 / 2x ^ 2 + sinx _ (pi / 3) ^ (pi / 2) #

# pi ^ 2/8 + sin (pi / 2) - pi ^ 2/18 + sin (pi / 3) = (5 * pi ^ 2-4 * 3 ^ (5/2) +72) /72=0.8193637907356557#

Responder:

#int_ (pi / 3) ^ (pi / 2) (x + cosx) dx = 1 + (5pi ^ 2-36sqrt3) / 72 #

Explicación:

Usando la linealidad de la integral:

#int_ (pi / 3) ^ (pi / 2) (x + cosx) dx = int_ (pi / 3) ^ (pi / 2) xdx + int_ (pi / 3) ^ (pi / 2) cosxdx #

Ahora:

#int_ (pi / 3) ^ (pi / 2) xdx = x ^ 2/2 _ (pi / 3) ^ (pi / 2) = pi ^ 2/8-pi ^ 2/18 = (5pi ^ 2) / 72 #

#int_ (pi / 3) ^ (pi / 2) cosxdx = sinx _ (pi / 3) ^ (pi / 2) = sin (pi / 2) -sin (pi / 3) = 1-sqrt3 / 2 #

Entonces:

#int_ (pi / 3) ^ (pi / 2) (x + cosx) dx = 1 + (5pi ^ 2-36sqrt3) / 72 #

Responder:

# (5π ^ 2) / 72 + 1-sqrt3 / 2 #

Explicación:

#int_ (π / 3) ^ (π / 2) (x + cosx) dx # #=#

#int_ (π / 3) ^ (π / 2) xdx + int_ (π / 3) ^ (π / 2) cosxdx # #=#

# x ^ 2/2 _ (π / 3) ^ (π / 2) # #+# # sinx _ (pi / 3) ^ (π / 2) # #=#

# (π ^ 2/4) / 2- (π ^ 2/9) / 2 + sin (π / 2) -sin (π / 3) # #=#

# π ^ 2/8-π ^ 2/18 + 1-sqrt3 / 2 # #=#

# (5π ^ 2) / 72 + 1-sqrt3 / 2 #

¿Cómo probar (1 + sinx-cosx) / (1 + cosx + sinx) = tan (x / 2)?

Por favor ver más abajo. LHS = (1-cosx + sinx) / (1 + cosx + sinx) = (2sin ^ 2 (x / 2) + 2sin (x / 2) * cos (x / 2)) / (2cos ^ 2 (x / 2) + 2sin (x / 2) * cos (x / 2) = (2sin (x / 2) [sin (x / 2) + cos (x / 2)]) / (2cos (x / 2) * [ sin (x / 2) + cos (x / 2)]) = tan (x / 2) = RHS

¿Cómo podría probar que esto es una identidad? Gracias. (1-sin ^ 2 (x / 2)) / (1 + sin ^ 2 (x / 2)) = (1 + cosx) / (3-cosx)

LHS = (1-sin ^ 2 (x / 2)) / (1 + sin ^ 2 (x / 2) = (cos ^ 2 (x / 2)) / (1 + 1-cos ^ 2 (x / 2 )) = (2cos ^ 2 (x / 2)) / (2-2cos ^ 2 (x / 2)) = (1 + cosx) / (4- (1 + cosx)) = (1 + cosx) / ( 3-cosx) = RHS

Demuéstralo: sqrt ((1-cosx) / (1 + cosx)) + sqrt ((1 + cosx) / (1-cosx)) = 2 / abs (sinx)?

Prueba a continuación utilizando conjugados y la versión trigonométrica del Teorema de Pitágoras. Parte 1 sqrt ((1-cosx) / (1 + cosx)) color (blanco) ("XXX") = sqrt (1-cosx) / sqrt (1 + cosx) color (blanco) ("XXX") = sqrt ((1-cosx)) / sqrt (1 + cosx) * sqrt (1-cosx) / sqrt (1-cosx) color (blanco) ("XXX") = (1-cosx) / sqrt (1-cosx 2x) Parte 2 Similarmente sqrt ((1 + cosx) / (1-cosx) color (blanco) ("XXX") = (1 + cosx) / sqrt (1-cos ^ 2x) Parte 3: Combinando los términos sqrt ( (1-cosx) / (1 + cosx)) + sqrt ((1 + cosx) / (1-cosx) color (blanco) ("XXX"