¿Cuál es el método de expansión del cofactor para encontrar el determinante?

Hola !

Dejar #A = (a_ {i, j}) # ser una matriz de tamaño #n times n #.

Elija una columna: el número de columna # j_0 # (Voy a escribir: "el # j_0 #-th columna ").

los fórmula de expansión cofactor (o fórmula de Laplace) para la # j_0 #-la columna es

# det (A) = sum_ {i = 1} ^ n a_ {i, j_0} (-1) ^ {i + j_0} Delta_ {i, j_0} #

dónde # Delta_ {i, j_0} # es el determinante de la matriz #UNA# sin su #yo#-la linea y su # j_0 #-th columna; asi que, # Delta_ {i, j_0} # es un determinante del tamaño # (n-1) veces (n-1) #.

Tenga en cuenta que el número # (- 1) ^ {i + j_0} Delta_ {i, j_0} # se llama cofactor de lugar # (i, j_0) #.

Tal vez parezca complicado, pero es fácil de entender con un ejemplo. Queremos calcular #RE#:

Si desarrollamos en la 2ª columna, obtienes

asi que:

Finalmente, # D = 0 #.

Para ser eficiente, debes elegir una línea que tenga muchos ceros: ¡la suma será muy simple de calcular!

Observación. Porque # det (A) = det (A ^ text {T}) #, también puede elegir una línea en lugar de una columna. Así, la fórmula se convierte en

# det (A) = sum_ {j = 1} ^ n a_ {i_0, j} (-1) ^ {i_0 + j} Delta_ {i_0, j} #

dónde # i_0 # Es el número de la línea seleccionada.