¿Cuáles son los puntos extremos y de silla de montar de f (x, y) = x ^ 2y-y ^ 2x?

Responder:

Punto de silla de montar en el origen.

Explicación:

Tenemos:

# f (x, y) = x ^ 2y -y ^ 2x #

Y así derivamos las derivadas parciales. Recuerde que al diferenciarnos parcialmente, diferenciamos la variable en cuestión mientras tratamos las otras variables como constantes. Y entonces:

# (parcial f) / (parcial x) = 2xy-y ^ 2 # y # (parcial f) / (parcial y) = x ^ 2-2yx #

En los puntos extremos o de silla de montar tenemos:

# (parcial f) / (parcial x) = 0 # y # (parcial f) / (parcial y) = 0 # simultaneamente:

es decir, una solución simultánea de:

# 2xy-y ^ 2 = 0 => y (2x-y) = 0 => y = 0, x = 1 / 2y #

# x ^ 2-2yx = 0 => x (x-2y) = 0 => x = 0, x = 1 / 2y #

De ahí que solo haya un punto crítico en el origen. #(0,0)#. Para establecer la naturaleza del punto crítico, se requieren analistas de la serie Taylor de múltiples variables y los siguientes resultados de prueba:

# Delta = (parcial ^ 2 f) / (parcial x ^ 2) (parcial ^ 2 f) / (parcial y ^ 2) - {(parcial ^ 2 f) / (parcial x parcial y)} ^ 2 <0 => # punto de silla

Entonces calculamos las segundas derivadas parciales:

# (parcial ^ 2f) / (parcial x ^ 2) = 2y #;# (parcial ^ 2f) / (parcial y ^ 2) = -2x # y # (parcial ^ 2 f) / (parcial x parcial y) = 2x-2y #

Y entonces cuando # x = 0, y = 0 # obtenemos:

# Delta = (0) (0) - {0-0} ^ 2 = 0 #

Lo que significa que la prueba de silla estándar es inclusiva y se requiere un análisis adicional. (Esto normalmente implicaría observar los signos de la función en varias secciones o la tercera prueba derivada parcial que está fuera del alcance de esta pregunta).

También podemos mirar la gráfica 3D y sacar una conclusión rápida de que el punto crítico parece corresponder a un punto de silla: