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Responder:

#p = 3 #

Explicación:

#color (rojo) (3x ^ p) (4x ^ {2p + 3} + 2x ^ {3p-2}) = 12x ^ {12} + 6x ^ {10} #

Primero, podríamos querer expandir nuestro lado izquierdo.

#color (rojo) (3x ^ p) * 4x ^ {2p + 3} + color (rojo) (3x ^ p) * 2x ^ {3p-2} = 12x ^ {12} + 6x ^ {10} #

Recordar que # x ^ a * x ^ b = x ^ {a + b} #.

# (color (rojo) 3 * 4) x ^ {color (rojo) p + 2p + 3} + (color (rojo) 3 * 2) x ^ {color (rojo) p + 3p - 2} = 12x ^ { 12} + 6x ^ {10} #

# 12x ^ {color (azul) (3p + 3)} + 6x ^ {color (azul) (4p - 2)} = 12x ^ {color (azul) 12} + 6x ^ {color (azul) 10} #

Haciendo un poco de coincidencia de patrones, notamos que #color (azul) (3p + 3) # corresponde exactamente a #color (azul) 12 #, y eso #color (azul) (4p-2) # corresponde exactamente a #color (azul) (10) #. Esto significa que deben ser iguales.

# 3p + 3 = 12 #

# 4p - 2 = 10 #

Resolver cualquiera de estas ecuaciones nos dice que #p = 3 #.