Responder:
# "No existe una factorización fácil aquí. Sólo un método general" #
# "para resolver una ecuación cúbica puede ayudarnos aquí".
Explicación:
# "Podríamos aplicar un método basado en la sustitución de Vieta".
# "Dividiendo por el primer coeficiente de rendimiento:" #
# x ^ 3 + 2 x ^ 2 - (13/2) x + 3 = 0 #
# "Sustituyendo" x = y + p "en" x ^ 3 + ax ^ 2 + bx + c "produce:" #
# y ^ 3 + (3p + a) y ^ 2 + (3p ^ 2 + 2ap + b) y + p ^ 3 + ap ^ 2 + bp + c = 0 #
# "si tomamos" 3p + a = 0 "o" p = -a / 3 ", el primer coeficiente" # # "se convierte en cero, y obtenemos:" #
# => y ^ 3 - (47/6) y + (214/27) = 0 #
# "(con" p = -2/3 ")" #
# "Sustituyendo" y = qz "en" y ^ 3 + b y + c = 0 ", produce:" #
# z ^ 3 + b z / q ^ 2 + c / q ^ 3 = 0 #
# "si tomamos" q = sqrt (| b | / 3) ", el coeficiente de z se convierte en" #
# "3 o -3, y obtenemos:" #
# "(aquí" q = 1.61589329 ")" #
# => z ^ 3 - 3 z + 1.87850338 = 0 #
# "Sustituyendo" z = t + 1 / t ", produce:" #
# => t ^ 3 + 1 / t ^ 3 + 1.87850338 = 0 #
# "Sustituyendo" u = t ^ 3 ", produce la ecuación cuadrática:" #
# => u ^ 2 + 1.87850338 u + 1 = 0 #
# "Las raíces de la ecuación cuadrática son complejas." #
# "Esto significa que tenemos 3 raíces reales en nuestra ecuación cúbica".
# "Una raíz de esta ecuación cuadrática es" #
# u = -0.93925169 + 0.34322917 i #
# "Sustituyendo las variables de vuelta, se obtiene:" #
#t = root3 (u) = 1.0 * (cos (-0.93041329) + i sin (-0.93041329)) #
# = 0.59750263 - 0.80186695 i. #
# => z = 1.19500526 + i 0.0. #
# => y = 1.93100097 + i 0.0. #
# => x = 1.26433430 #
# "Las otras raíces se pueden encontrar dividiendo y resolviendo" # # "ecuación cuadrática restante." #
# "Las otras raíces son reales: -3.87643981 y 0.61210551".
Responder:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 = 2 (x-x_0) (x-x_1) (x-x_2) #
dónde:
#x_n = 1/6 (-4 + 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3)) #
Explicación:
Dado:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 #
Tenga en cuenta que esto se factoriza mucho más fácilmente si hay un error tipográfico en la pregunta.
Por ejemplo:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2 colores (rojo) (12) x + 6 = 2 (x-1) (x ^ 2 + 3x-6) = … #
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + color (rojo) (7) = (x-1) (2x ^ 2 + 6x-7) = … #
Si el valor cúbico es correcto en la forma dada, podemos encontrar sus ceros y factores de la siguiente manera:
#f (x) = 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 #
Transformación Tschirnhaus
Para hacer que la tarea de resolver el cúbico sea más simple, hacemos el cúbico más simple utilizando una sustitución lineal conocida como transformación Tschirnhaus.
# 0 = 108f (x) = 216x ^ 3 + 432x ^ 2-1404x + 648 #
# = (6x + 4) ^ 3-282 (6x + 4) + 1712 #
# = t ^ 3-282t + 1712 #
dónde # t = (6x + 4) #
Sustitución trigonométrica
Ya que #f (x) # tiene #3# Los ceros reales, el método de Cardano y similares resultarán en expresiones que involucran raíces cúbicas irreductibles de números complejos. Mi preferencia en tales circunstancias es usar una sustitución trigonométrica en su lugar.
Poner:
#t = k cos theta #
dónde #k = sqrt (4/3 * 282) = 2sqrt (94) #
Entonces:
# 0 = t ^ 3-282t + 1712 #
#color (blanco) (0) = k ^ 3 cos ^ 3 theta - 282k cos theta + 1712 #
#color (blanco) (0) = 94k (4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) + 1712 #
#color (blanco) (0) = 94k cos 3 theta + 1712 #
Asi que:
#cos 3 theta = -1712 / (94 k) = -1712 / (188 sqrt (94)) = - (1712sqrt (94)) / (188 * 94) = -214/2209 sqrt (94) #
Asi que:
# 3 theta = + -cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + 2npi #
Asi que:
#theta = + - 1 / 3cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3 #
Asi que:
#cos theta = cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3) #
Lo que da #3# ceros distintos del cúbico en # t #:
#t_n = k cos theta = 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3) "" # para #n = 0, 1, 2 #
Entonces:
#x = 1/6 (t-4) #
Así que los tres ceros de la cúbica dada son:
#x_n = 1/6 (-4 + 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3)) #
con valores aproximados:
# x_0 ~~ 1.2643 #
# x_1 ~~ -3.8764 #
# x_2 ~~ 0.61211 #
