S = (a (r ^ n -1)) / (r-1) Haciendo 'r' la fórmula del sujeto ..?

Responder:

Esto no es generalmente posible …

Explicación:

Dado:

#s = (a (r ^ n-1)) / (r-1) #

Idealmente queremos derivar una fórmula como:

#r = "alguna expresión en" s, n, a #

Esto no va a ser posible para todos los valores de #norte#. Por ejemplo, cuando # n = 1 # tenemos:

#s = (a (r ^ color (azul) (1) -1)) / (r-1) = a #

Entonces # r # puede tomar cualquier valor aparte de #1#.

Además, tenga en cuenta que si # a = 0 # entonces # s = 0 # y otra vez # r # puede tomar cualquier valor aparte de #1#.

Veamos hasta dónde podemos llegar en general:

Primero multiplica ambos lados de la ecuación dada por # (r-1) # Llegar:

#s (r-1) = a (r ^ n-1) #

Al multiplicar ambos lados, esto se convierte en:

# sr-s = ar ^ n-a #

Luego, restando el lado izquierdo de ambos lados, obtenemos:

# 0 = ar ^ n-sr + (s-a) #

Asumiendo #a! = 0 #, podemos dividir esto a través de #una# para obtener la ecuación polinomial monica:

# r ^ n-s / a r + (s / a-1) = 0 #

Tenga en cuenta que para cualquier valor de #como# y #norte# Una raíz de este polinomio es # r = 1 #, pero eso es un valor excluido.

Tratemos de factorizar # (r-1) #…

# 0 = r ^ n-s / a r + (s / a-1) #

#color (blanco) (0) = r ^ n-1-s / a (r-1) #

#color (blanco) (0) = (r-1) (r ^ (n-1) + r ^ (n-2) + … + 1-s / a) #

Así que dividiendo por # (r-1) # obtenemos:

# r ^ (n-1) + r ^ (n-2) + … + 1-s / a = 0 #

Las soluciones de esto tomarán formas muy diferentes para diferentes valores de #norte#. Para el momento #n> = 6 #, no es generalmente solucionable por radicales.