¿Cuál es la derivada de f (x) = csc ^ -1 (x)?

# dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) #

Proceso:

1.) #y = "arccsc" (x) #

Primero reescribiremos la ecuación en una forma que sea más fácil de trabajar.

Toma la cosecante de ambos lados:

2.) #csc y = x #

Reescribir en términos de seno:

3.) # 1 / siny = x #

Resolver # y #:

4.) # 1 = xsin y #

5.) # 1 / x = sin y #

6.) #y = arcsin (1 / x) #

Ahora, tomar el derivado debería ser más fácil. Ahora es sólo una cuestión de la regla de la cadena.

Lo sabemos # d / dx arcsin alpha = 1 / sqrt (1 - alpha ^ 2) # (Aquí hay una prueba de esta identidad)

Entonces, toma la derivada de la función externa, luego multiplica por la derivada de # 1 / x #:

7.) # dy / dx = 1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * d / dx 1 / x #

El derivado de # 1 / x # es el mismo que el derivado de #x ^ (- 1) #:

8.) # dy / dx = 1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * (-x ^ (- 2)) #

Simplificando 8. nos da:

9.) # dy / dx = -1 / (x ^ 2 * sqrt (1 - 1 / x ^ 2)) #

Para hacer la declaración un poco más bonita, podemos traer el cuadrado de # x ^ 2 # Dentro del radical, aunque esto no es necesario:

10.) # dy / dx = -1 / (sqrt (x ^ 4 (1 - 1 / x ^ 2))) #

Simplificando los rendimientos:

11.) # dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) #

Y ahí está nuestra respuesta. Recuerde, los problemas derivados que implican funciones trigonométricas inversas son en su mayoría un ejercicio de su conocimiento de las identidades trigonométricas. Utilícelos para desglosar la función en una forma que sea fácil de diferenciar.