La Sra. Fox preguntó a su clase: ¿la suma de 4.2 y la raíz cuadrada de 2 son racionales o irracionales? Patrick respondió que la suma sería irracional. Indique si Patrick es correcto o incorrecto. Justifica tu razonamiento.

Responder:

La suma # 4.2 + sqrt2 # es irracional hereda la propiedad de expansión decimal que nunca se repite #sqrt 2 #.

Explicación:

Un numero irracional es un número que no se puede expresar como una proporción de dos enteros. Si un número es irracional, entonces su expansión decimal continúa para siempre sin un patrón, y viceversa.

Ya sabemos que #sqrt 2 # es irracional Comienza su expansión decimal:

#sqrt 2 = 1.414213562373095 … #

El número #4.2# es racional; se puede expresar como #42/10.# Cuando sumamos 4.2 a la expansión decimal de #sqrt 2 #, obtenemos:

#sqrt 2 + 4.2 = color (blanco) + 1.414213562373095 … #

#color (blanco) (sqrt 2) color (blanco) + color (blanco) (4.2 =) + 4.2 #

#color (blanco) (sqrt 2) color (blanco) + color (blanco) (4.2 =) barra (color (blanco) (+) 5.614213562373095 …) #

Se ve fácilmente que esta suma tampoco termina ni tiene un patrón de repetición, por lo que también es irracional.

En general, la suma de un número racional y un número irracional siempre será irracional.; El argumento es similar al de arriba.

Responder:

#color (azul) ("correcto") #

Explicación:

Si comenzamos diciendo que la suma es racional: todos los números racionales se pueden escribir como el cociente de dos enteros # a / bcolor (blanco) (88) # #b! = 0 #

#4.2=21/5#

# 21/5 + sqrt (2) = a / b #

#sqrt (2) = a / b-21/5 #

#sqrt (2) = (5a-21b) / (5b) #

El producto de dos enteros es un entero:

La diferencia de dos enteros es un entero:

Asi que:

# 5a-21b # es un entero

# 5b # es un entero

Por lo tanto:

# (5a-21b) / (5b) # es racional

Pero sabemos que #sqrt (2) # es irracional, por lo que esto es una contradicción de nuestra suposición de que la suma era racional, por lo tanto, la suma de un número irracional y un número racional es siempre irracional.