¿Por qué necesitas encontrar la forma trigonométrica de un número complejo?

Dependiendo de lo que necesite hacer con sus números complejos, la forma trigonométrica puede ser muy útil o muy espinosa.

Por ejemplo, vamos # z_1 = 1 + i #, # z_2 = sqrt (3) + i # y # z_3 = -1 + i sqrt {3} #.

Vamos a calcular las dos formas trigonométricas:

# theta_1 = arctan (1) = pi / 4 # y # rho_1 = sqrt {1 + 1} = sqrt {2} #

# theta_2 = arctan (1 / sqrt {3}) = pi / 6 # y # rho_2 = sqrt {3 + 1} = 2 #

# theta_3 = pi + arctan (-sqrt {3}) = 2/3 pi # y # rho_3 = sqrt {1 + 3} = 2 #

Así que las formas trigonométricas son:

# z_1 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) #

# z_2 = 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) #

# z_3 = 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) #

Adición

Digamos que quieres calcular # z_1 + z_2 + z_3 #. Si usas la forma algebraica, obtienes

# z_1 + z_2 + z_3 = (1 + i) + (sqrt {3} + i) + (- 1 + i sqrt {3}) = sqrt {3} + i (2 + sqrt {3}) #

Bastante fácil. Ahora intente con la forma trigonométrica …

# z_1 + z_2 + z_3 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) + 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) + 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) #

Resulta que la forma más corta de agregar estas dos expresiones es resolver cosenos y senos, lo que significa … ¡recurrir a la forma algebraica!

La forma algebraica es a menudo la mejor forma de elegir al agregar números complejos.

Multiplicación

Ahora tratamos de calcular # z_1 * z_2 * z_3 #. Usar formas algebraicas requiere muchos cálculos molestos. Pero resolver este producto con las formas trigonométricas es más simple:

# z_1 * z_2 * z_3 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) * 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) * 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) = 4 sqrt {2} (cos (pi / 4 + pi / 6 + 2/3 pi) + i sin (pi / 4 + pi / 6 + 2 / 3 pi)) = 4 sqrt {2} (cos (13/12 pi) + i sin (13/12 pi)) #

Los ingredientes para probar que la segunda igualdad se sostiene provienen de la trigonometría: los dos fórmulas de adición

#sin (alpha + beta) = sin (alpha) cos (beta) + sin (beta) cos (alpha) #

#cos (alpha + beta) = cos (alpha) cos (beta) -sin (alpha) sin (beta) #

La multiplicación de números complejos es aún más clara (pero conceptualmente no es más fácil) en forma exponencial.

En cierto sentido, la forma trigonométrica es una especie de forma intermedia entre las formas algebraica y exponencial. La forma trigonométrica es la forma de cambiar entre estos dos. En este sentido, es una especie de "diccionario" para "traducir" las formas.