Pregunta # 6bd6c

Responder:

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Explicación:

#f (x) = x ^ 3-x # Es una función impar. Se verifica #f (x) = -f (-x) #

asi que # int_-1 ^ 1f (x) dx = int_-1 ^ 0f (x) dx + int_0 ^ 1f (x) dx = int_0 ^ 1f (-x) dx + int_0 ^ 1f (x) dx = int_0 ^ 1 (f (x) + f (-x)) dx = 0 #

Responder:

# int_-1 ^ 1 (x ^ 3-x) dx = 0 #

Podría ser el área, pero la función no mantiene un signo constante entre #x en -1,1 #. Además, debido a la simetría en # x = 0 # lo que reduce a la mitad este intervalo, las áreas se anulan entre sí y anulan el área.

Explicación:

Geométricamente, la integral de una función de una sola variable es igual a un área. Sin embargo, la geometría sugiere que la función de menor valor se resta de la función de mayor valor para que el área no sea negativa. Más concretamente, para dos funciones. #f (x) # y #g (x) # el área entre los dos gráficos en # a, b # es:

# int_a ^ b | f (x) -g (x) | dx #

Es decir, uno debe saber cuál de los siguientes casos es verdadero:

#f (x)> g (x) #

#f (x) <g (x) #

Ahora considerando su función, encuentre el signo de la diferencia entre estas funciones:

# x ^ 3-x = 0 #

#x (x ^ 2-1) = 0 #

#x (x-1) (x + 1) = 0 #

Vemos que para el área dada de #-1,1# que el ejercicio te da, el signo cambia realmente de positivo a negativo en # x = 0 #. Por lo tanto, geométricamente esta integral definida NO representa el área. El área real es:

# A = int_-1 ^ 0 (x ^ 3-x) dx-int_0 ^ 1 (x ^ 3-x) dx #

Como el área de 0 a 1 sería negativa, solo agregamos un signo menos para que se acumule. Si resuelves las integrales:

# A = x ^ 4/4-x ^ 2/2 _- 1 ^ 0- x ^ 4/4-x ^ 2/2 _0 ^ 1 #

# A = 1/4 - (- 1/4) #

#Α=2/4#

¿Observa que las dos integrales producen el mismo valor? Esto se debe a la simetría de la función, que hace que su integral sea negativa.

Para resumir:

Tu integral es igual a:

# int_-1 ^ 1 (x ^ 3-x) dx = x ^ 4/4-x ^ 2/2 _- 1 ^ 1 = 1 / 4-1 / 4 = 0 #

El área de la función, si fuera solicitada, sería:

# A = int_-1 ^ 0 (x ^ 3-x) dx-int_0 ^ 1 (x ^ 3-x) dx = 1/4 + 1/4 = 2/4 #

Por lo tanto, puede recordar el área, pero la integral que se le da NO representa el área (puede saber esto desde el principio, ya que un área no puede ser 0). El único resultado geométrico que se podría obtener sería la simetría de la función. Para eje de simetría. # x = 0 # los valores simétricos de #X# #-1# y #+1# producen áreas iguales, por lo que la función es probablemente simétrica. Al graficar las dos funciones en la misma hoja, se puede ver que en realidad es simétrico: