Pregunta # 31a2b

Responder:

Usa la regla de potencia inversa para integrar # 4x-x ^ 2 # desde #0# a #4#, para terminar con un área de #32/3# unidades.

Explicación:

La integración se utiliza para encontrar el área entre una curva y la #X#- o # y #-axis, y la región sombreada aquí es exactamente esa área (entre la curva y la #X#-axis, en concreto). Así que todo lo que tenemos que hacer es integrar. # 4x-x ^ 2 #.

También tenemos que averiguar los límites de la integración. Desde su diagrama, veo que los límites son los ceros de la función # 4x-x ^ 2 #; sin embargo, tenemos que encontrar valores numéricos para estos ceros, que podemos lograr al factorizar # 4x-x ^ 2 # y estableciéndolo igual a cero:

# 4x-x ^ 2 = 0 #

#x (4-x) = 0 #

# x = 0 ##color (blanco) (XX) andcolor (blanco) (XX) ## x = 4 #

Por lo tanto vamos a integrar # 4x-x ^ 2 # desde #0# a #4#:

# int_0 ^ 4 4x-x ^ 2dx #

# = 2x ^ 2-x ^ 3/3 _0 ^ 4 -> # utilizando la regla de potencia inversa (# intx ^ ndx = (x ^ (n + 1)) / (n + 1) #)

#=((2(4)^2-(4)^3/3)-(2(0)^2-(0)^3/3))#

#=((32-64/3)-(0))#

#=32/3~~10.67#