¿Qué significa exclamación un punto en matemáticas? + Ejemplo

Responder:

Un signo de exclamación denota algo llamado factorial.

Explicación:

La definición formal de #¡norte!# (n factorial) es el producto de todos los números naturales menores o iguales a #norte#. En símbolos de matemáticas:

#¡norte! = n * (n-1) * (n-2) … #

Confía en mí, es menos confuso de lo que parece. Di que querías encontrar #5!#. Simplemente multiplica todos los números menores o iguales a #5# hasta llegar a #1#:

#5! = 5*4*3*2*1=120#

O #6!#:

#6! = 6*5*4*3*2*1=720#

Lo bueno de los factoriales es la facilidad con que puedes simplificarlos. Digamos que te dan el siguiente problema:

Calcular #(10!)/(9!)#.

De acuerdo con lo que le dije anteriormente, podría pensar que necesitará multiplicar #10*9*8*7…# y dividirlo por #9*8*7*6…#, lo que probablemente llevará mucho tiempo. Sin embargo, no tiene por qué ser tan difícil. Ya que #10! = 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1#y #9! = 9*8*7*6*5*4*3*2*1#, puedes expresar el problema así:

#(10*9*8*7*6*5*4*3*2*1)/(9*8*7*6*5*4*3*2*1)#

¡Y échale un vistazo a eso! Los números #1# mediante #9# cancelar:

# (10 * cancel9 * cancel8 * cancel7 * cancel6 * cancel5 * cancel4 * cancel3 * cancel2 * cancel1) / (cancel9 * cancel8 * cancel7 * cancel6 * cancel5 * cancel4 * cancel3 * cancel2 * cancel1) #

Dejándonos con #10# como resultado.

Por cierto, #0! = 1#. Para saber por qué, echa un vistazo a este enlace.

Aplicaciones de los factoriales.

El lugar donde los factoriales son realmente útiles es la probabilidad. Por ejemplo: ¿cuántas palabras puedes hacer con las letras? #A B C D E#, sin repetir ninguna carta? (Las palabras en este caso no tienen que tener sentido; puede tener # AEDCB #, por ejemplo).

Bueno tu tienes #5# opciones para su primera letra, #4# para su próxima carta (recuerde, sin repeticiones; si elige #UNA# para su primera letra, solo puede elegir # BCDE # para tu segundo) #3# para el siguiente, #2# para el uno después de eso, y #1# por el último. Las reglas de probabilidad dicen que el número total de palabras es el producto de las opciones:

#underbrace (5) _ ("opciones para la primera letra") * 4 * 3 * 2 * 1 #

Y cuatro es el número de opciones para la segunda letra, y así sucesivamente. Pero espera, reconocemos esto, ¿verdad? Sus #5!#:

#5! = 5*4*3*2*1=120#

Así que hay #120# formas.

También verás factoriales que se utilizan en permutaciones y combinaciones, que también tienen que ver con la probabilidad. El símbolo para las permutaciones es # "_ nP_r #, y el simbolo de combinaciones es # "_ nCrr # (La gente usa # ((n), (r)) # sin embargo, para las combinaciones la mayoría de las veces, y dices "n elige r".) Las fórmulas para ellas son:

# "_ nP_r = (n!) / ((n-r)!) #

# "_ nC_r = (n!) / ((n-r)! r!) #

Ahí vemos a nuestro amigo, el factorial. Una explicación de permutaciones y combinaciones haría que esta ya larga respuesta fuera aún más larga, así que revisa este enlace para las permutaciones y este enlace para las combinaciones.