Responder:
#f ^ (- 1) (y) = x: f (x) = y #
Explicación:
Dejar #f (x) = 3ln (5x) + x ^ 3 #
Supongamos que estamos tratando con valores reales y, por lo tanto, con el logaritmo natural real.
Entonces estamos obligados a #x> 0 # para que #ln (5x) # estar definido.
Para cualquier #x> 0 # Ambos términos están bien definidos y por lo tanto #f (x) # Es una función bien definida con dominio. # (0, oo) #.
Tenga en cuenta que # 3ln (5) # y # x ^ 3 # Los dos son estrictamente monótonos en este dominio, por lo que nuestra función también lo es y es uno a uno.
Para pequeños valores positivos de #X#, el termino # x ^ 3 # Es pequeño y positivo y el término. # 3ln (5x) # Es arbitrariamente grande y negativo.
Para grandes valores positivos de #X#, el termino # 3ln (5x) # es positivo y el termino # x ^ 3 # Es arbitrariamente grande y positivo.
Dado que la función también es continua, el rango es # (- oo, oo) #
Así que para cualquier valor de #y en (-oo, oo) # hay un valor único de #x en (0, oo) # tal que #f (x) = y #.
Esto define nuestra función inversa:
#f ^ (- 1) (y) = x: f (x) = y #
Es decir #f ^ (- 1) (y) # es el valor de #X# tal que #f (x) = y #.
Hemos demostrado (informalmente) que esto existe, pero no hay una solución algebraica para #X# en términos de # y #.
La grafica de #f ^ (- 1) (y) # es la gráfica de #f (x) # reflejado en la linea # y = x #.
En notación de conjunto:
#f = {(x, y) en (0, oo) xx RR: y = 3ln (5x) + x ^ 3} #
#f ^ (- 1) = {(x, y) en RR xx (0, oo): x = 3ln (5y) + y ^ 3} #
