¿Cómo resuelves un ^ 2-sqrt (3) a + 1 = 0?

# (a-sqrt (3) / 2) ^ 2 = (a-sqrt (3) / 2) (a-sqrt (3) / 2) #

# = a ^ 2- (sqrt (3) / 2 + sqrt (3) / 2) a + (sqrt (3) / 2) (sqrt (3) / 2) #

# = a ^ 2-sqrt (3) a + 3/4 #

Entonces tenemos:

# 0 = a ^ 2-sqrt (3) a + 1 = a ^ 2-sqrt (3) a + 3/4 + 1/4 #

# = (a-sqrt (3) / 2) ^ 2 + 1/4 #

Restando 1/4 de ambos lados, obtenemos:

# (a-sqrt (3) / 2) ^ 2 = -1 / 4 #

Esto no tiene soluciones de números reales ya que el cuadrado de cualquier número real no es negativo.

Si quieres soluciones complejas, # a-sqrt (3) / 2 = + -sqrt (-1/4) = + -i / 2 #

Añadiendo #sqrt (3/2) # a ambos lados, obtenemos

#a = sqrt (3) / 2 + - i / 2 #.

Comenzaría a aplicar la fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas (de hecho, esta es una ecuación cuadrática en "a"):

#a = (- b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) => a = (sqrt3 + -sqrt ((sqrt3) ^ 2-4 · 1 · 1)) / (2 · 1) => a = (sqrt3 + -sqrt (3-4)) / 2 => a = (sqrt3 + -sqrt (-1)) / 2 #

Como puede ver, la ecuación no tiene una solución real, ya que tiene una raíz cuadrada de un número negativo (#sqrt (-1) #).

• Entonces, si estás trabajando con números reales, la respuesta es que no hay #a en RR # que hace # a ^ 2-sqrt3a + 1 = 0 #.

• Pero si está trabajando con números complejos, hay dos soluciones:

  # a_1 = (sqrt3 + i) / 2 # y # a_2 = (sqrt3-i) / 2 #.