¿Cuál es la solución general de la ecuación diferencial y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0?

# "La ecuación característica es:" #

# z ^ 3 - z ^ 2 + 4 z = 0 #

# => z (z ^ 2 - z + 4) = 0 #

# => z = 0 "OR" z ^ 2 - z + 4 = 0 #

# "disco del quad. eq. = 1 - 16 = -15 <0" #

# "Así que tenemos dos soluciones complejas, son" #

#z = (1 pm sqrt (15) i) / 2 #

# "Así que la solución general de la ecuación homogénea es:" #

# A + B 'exp (x / 2) exp ((sqrt (15) / 2) i x) + #

#C 'exp (x / 2) exp (- (sqrt (15) / 2) i x) #

# = A + B exp (x / 2) cos (sqrt (15) x / 2) + C exp (x / 2) sin (sqrt (15) x / 2) #

# "La solución particular para la ecuación completa es" #

# "y = x," #

# "Eso es fácil de ver." #

# "Así que la solución completa es:" #

#y (x) = x + A + B exp (x / 2) cos (sqrt (15) x / 2) + C exp (x / 2) sin (sqrt (15) x / 2) #

Responder:

# y = A + e ^ (1 / 2x) {Bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x)} + x #

Explicación:

Tenemos:

# y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0 #

O alternativamente:

# y '' '- y' '+ 4y' = 4 # ….. UNA

Esto es un tercero Ecuación de diferenciación no homogénea lineal de orden con coeficientes constantes. El enfoque estándar es encontrar una solución, # y_c # de la ecuación homogénea al observar la ecuación auxiliar, que es la ecuación polinomial con los coeficientes de los derivados, y luego encontrar una solución particular independiente, # y_p # de la ecuación no homogénea.

Las raíces de la ecuación auxiliar determinan partes de la solución, que si son linealmente independientes, la superposición de las soluciones forma la solución general completa.

• Raíces reales distintas # m = alfa, beta, … # Cederá soluciones linealmente independientes de la forma. # y_1 = Ae ^ (alphax) #, # y_2 = Be ^ (betax) #, …
• Raíces reales repetidas # m = alfa #, dará una solución de la forma # y = (Ax + B) e ^ (alphax) # Donde el polinomio tiene el mismo grado que la repetición.
• Raíces complejas (que deben aparecer como pares conjugados) # m = p + -qi # Producirá un par de soluciones linealmente independientes de la forma. # y = e ^ (px) (Acos (qx) + Bsin (qx)) #

Solución particular

Para encontrar una solución particular de la ecuación no homogénea:

# y '' '- y' '+ 4y' = f (x) # con #f (x) = 4 # ….. C

entonces como #f (x) # es un polinomio de grado #0#, buscaríamos una solución polinomial del mismo grado, es decir, de la forma #y = a #

Sin embargo, tal solución ya existe en la solución CF y por lo tanto debe considerar una solución potencial del formulario # y = hacha #, Donde las constantes #una# Se determinará por sustitución directa y comparación:

Diferenciación # y = hacha # escrito #X# obtenemos:

# y '= a #

# y '' = 0 #

# y '' '= 0 #

Sustituyendo estos resultados en la DE A obtenemos:

# 0-0 + 4a = 4 => a = 1 #

Y así formamos la solución particular:

# y_p = x #

Solución general

Lo que luego conduce a la GS de A}

# y (x) = y_c + y_p #

# = A + e ^ (1 / 2x) {Bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x)} + x #

Tenga en cuenta que esta solución tiene #3# constantes de integración y #3# Soluciones linealmente independientes, por lo tanto, según la teoría de la existencia y la unicidad, su superposición es la Solución general.