¿Por qué un número elevado a un poder negativo es el recíproco de ese número?

Respuesta simple:

Lo haremos trabajando hacia atrás.

Como puedes hacer #2^2# fuera de #2^3#?

Bueno, divide por 2: #2^3/2 = 2^2#

Como puedes hacer #2^1# fuera de #2^2#?

Bueno, divide por 2: #2^2/2 = 2^1#

Como puedes hacer #2^0 (=1)# fuera de #2^1#?

Bueno, divide por 2: #2^1/2 = 2^0 = 1#

Como puedes hacer #2^-1# fuera de #2^0#?

Bueno, divide por 2: #2^0/2 = 2^-1 = 1/2#

Prueba de por qué este debería ser el caso

La definición del recíproco es: "el recíproco de un número multiplicado por ese número debería darte 1".

Dejar # a ^ x # ser el número

# a ^ x * 1 / a ^ x = 1 #

O también puedes decir lo siguiente:

# a ^ x * a ^ -x = a ^ (x + (- x)) = a ^ (x-x) = a ^ 0 = 1 #

Como ambos son iguales a #1#, puedes establecerlos iguales:

# a ^ x * a ^ -x = a ^ x * 1 / a ^ x #

Divide ambos lados por # a ^ x #:

# a ^ -x = 1 / a ^ x #

Y tú tienes tu prueba.