¿Puede alguien ayudarme a entender esta ecuación? (escribiendo una ecuación polar de una cónica)

Responder:

#r = 12 / {4 cos theta + 5} #

Explicación:

Una cónica con excentricidad. # e = 4/5 # Es una elipse.

Para cada punto de la curva, la distancia al punto focal sobre la distancia a la directriz es # e = 4 / 5. #

¿Centrarse en el polo? Que polo Asumamos que el que pregunta significa enfoque en el origen.

Generalicemos la excentricidad a #mi# y la directriz a # x = k #.

La distancia de un punto # (x, y) # en la elipse al foco es

# sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} #

La distancia a la directriz. # x = k # es # | x-k | #.

# e = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} / | x-k | #

# e ^ 2 = {x ^ 2 + y ^ 2} / (x-k) ^ 2 #

Esa es nuestra elipse, no hay ninguna razón particular para trabajar en forma estándar.

Hagámoslo polar. # r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 # y # x = r cos theta #

# e ^ 2 = r ^ 2 / (r cos theta -k) ^ 2 #

# e ^ 2 (r cos theta - k) ^ 2 = r ^ 2 #

# (e r cos theta - e k) ^ 2 - r ^ 2 = 0 #

# (r e cos theta + r - ek) (r e cos theta - r - ek) = 0 #

#r = {ek} / {e cos theta + 1} o r = {ek} / {e cos theta - 1} #

Abandonamos la segunda forma porque nunca tuvimos negativa. # r #.

Así que la forma polar para una elipse con excentricidad. #mi# y directriz # x = k # es

#r = {ek} / {e cos theta + 1} #

Esa parece ser la forma en la que empezaste.

Enchufando # e = 4/5, k = 3 #

#r = {12/5} / {4/5 cos theta + 1} #

Simplificando da, #r = 12 / {4 cos theta + 5} #

Eso no es nada de lo de arriba.