# x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x ^ 3) ^ 2-2 (x ^ 3) + 1 # es de la forma # y ^ 2-2y + 1 # dónde #y = x ^ 3 #.
Esta fórmula cuadrática en # y # Factores de la siguiente manera:
# y ^ 2-2y + 1 = (y-1) (y-1) = (y - 1) ^ 2 #
Asi que # x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x ^ 3 - 1) ^ 2 #
# x ^ 3 - 1 = (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) #
Asi que # x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) #
# = (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 #.
# x ^ 2 + x + 1 # No tiene factores lineales con coeficientes reales. Para comprobar este aviso es de la forma. # ax ^ 2 + bx + c #, que tiene discriminante:
#Delta = b ^ 2 - 4ac = 1 ^ 2 - 4 * 1 * 1 = 1 - 4 = -3 #
Siendo negativo, la ecuación. # x ^ 2 + x + 1 = 0 # No tiene raíces reales.
Una forma de verificar la respuesta es sustituir un valor por #X# eso no es una raíz en ambos lados y ver si obtenemos el mismo resultado:
Tratar # x = 2 #:
# x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = 2 ^ 6-2x ^ 3 + 1 #
# = 64- (2xx8) +1 = 64-16 + 1 = 49 #
Comparar:
# (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 = (2-1) ^ 2 (2 ^ 2 + 2 + 1) ^ 2 #
#1^2*7^2=49#
Bueno, eso funcionó!
# x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # Es bastante fácil de factorizar, porque es un cuadrado perfecto. ¿Cómo puedo saber esto? Es un trinomio en la forma. # a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 #, y todos los trinomios en esa forma son cuadrados perfectos.
Este trinomio es el cuadrado perfecto de # (x ^ 3 - 1) #. Para revisar mi trabajo, trabajaré al revés:
# (x ^ 3 - 1) (x ^ 3 - 1) #
# = x ^ 6 - x ^ 3 - x ^ 3 + 1 #
# = x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #
Entonces, este trinomio tiene factores de #1#, # x ^ 3 - 1 #y # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #.
Sin embargo, como me ha sido señalado, # (x ^ 3 - 1) # También tiene factores. Ya que es un binomio de la forma. # a ^ 3 - b ^ 3 #, también puede ser escrito como # (a - b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) #.
Asi que, # (x ^ 3 - 1) # factores en # (x - 1) # y # (x ^ 2 + x + 1) #, que ambos son primos.
Los factores de # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # son:
#1#
# x-1 #
# x ^ 2 + x + 1 #
# x ^ 3 - 1 #
# x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #
Más específicamente, la factorización PRIME de # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # es:
# (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 #
