La proporción común de una progresión ggeométrica es r el primer término de la progresión es (r ^ 2-3r + 2) y la suma del infinito es S Muestre que S = 2-r (tengo) Encuentre el conjunto de valores posibles que S puede tomar?

Responder:

# S = a / {1-r} = {r ^ 2-3r + 2} / {1-r} = {(r-1) (r-2)} / {1-r} = 2-r #

Ya que # | r | <1 # obtenemos # 1 <S <3 #

Explicación:

Tenemos

# S = suma_ {k = 0} ^ {infty} (r ^ 2-3r + 2) r ^ k #

La suma general de una serie geométrica infinita es

#sum_ {k = 0} ^ {infty} a r ^ k = a / {1-r} #

En nuestro caso, #S = {r ^ 2-3r + 2} / {1-r} = {(r-1) (r-2)} / {1-r} = 2-r #

Las series geométricas solo convergen cuando # | r | <1 #, así conseguimos

# 1 <S <3 #

Responder:

#color (azul) (1 <S <3) #

Explicación:

# ar ^ (n-1) #

Dónde # bbr # es la razón común, # bba # es el primer término y # bbn # es el enésimo término.

Se nos dice que la razón común es # r #

Primer término es # (r ^ 2-3r + 2) #

La suma de una serie geométrica se da como:

#a ((1-r ^ n) / (1-r)) #

Para la suma al infinito esto se simplifica a:

# a / (1-r) #

Se nos dice que esta suma es S.

Sustituyendo en nuestros valores por a y r:

# (r ^ 2-3r + 2) / (1-r) = S #

Factoriza el numerador:

# ((r-1) (r-2)) / (1-r) = S #

Multiplicar numerador y denominador por #-1#

# ((r-1) (2-r)) / (r-1) = S #

Cancelado:

# (cancelar ((r-1)) (2-r)) / (cancelar ((1-r))) = S #

# S = 2-r #

Para encontrar los valores posibles, recordamos que una serie geométrica solo tiene una suma hasta el infinito si # -1 <r <1 #

# 2-1 <2 -r <1 + 2 #

# 1 <2-r <3 #

es decir

# 1 <S <3 #