Responder:
En realidad hay cuatro valores para # x / 2 # en el círculo unitario, entonces cuatro valores para cada función trigonométrica. El valor principal del medio ángulo es alrededor # 2.2 ^ circ. #
#cos (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = cos 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #
#sin (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = sin 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #
#tan (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = tan 2.2 ^ circ = sqrt (170) - 13 #
Por favor vea la explicación para los demás.
Explicación:
Vamos a hablar de la respuesta un poco primero. Hay dos ángulos en el círculo unitario cuya cotangente es #13#. Uno esta alrededor # 4.4 ^ circ #, y otra es que más # 180 ^ circ #, llámalo # 184.4 ^ circ #. Cada uno de ellos tiene dos medios ángulos, nuevamente separados por # 180 ^ circ. # El primero tiene ángulos medios. # 2.2 ^ circ # y # 182.2 ^ circ #, el segundo tiene medios angulos # 92.2 ^ circ # y # 272.2 ^ circ #, Así que en realidad hay cuatro medios ángulos en cuestión, con valores diferentes pero relacionados para sus funciones trigonométricas.
Usaremos los ángulos anteriores como aproximaciones para tener nombres para ellos.
Angulos con cotangente de 13:
#text {Arc} text {cot} 13 approx 4.4 ^ circ #
# 180 ^ circ + text {Arc} text {cot} 13 aprox 184.4 ^ circ #
La mitad de los ángulos:
# 1/2 texto {Arc} texto {cot} 13 aprox. 2.2 ^ circ #
# 1/2 (360 ^ circ + text {Arc} text {cot} 13) aprox. 182.2 ^ circ #
# 1/2 (180 ^ circ + text {Arc} text {cot} 13) aprox 92.2 ^ circ #
# 1/2 (360 ^ circ + 180 ^ circ + text {Arc} text {cot} 13) aprox. 272.2 ^ circ #
OK, las fórmulas de doble ángulo para el coseno son:
#cos (2a) = 2 cos ^ 2 a - 1 = 1 - sin ^ 2 a #
por lo que las fórmulas de medio ángulo relevantes son
#sin a = pm sqrt {1/2 (1-cos (2a))} #
#cos a = pm sqrt {1/2 (1 + cos (2a))} #
Eso es todo preliminar. Hagamos el problema.
Vamos a hacer el pequeño ángulo primero, # 2.2 ^ circ. # Vemos que el resto son solo múltiplos de # 90 ^ circ # por encima de eso, para que podamos obtener sus funciones trigonométricas desde este primer ángulo.
Una cotangente de 13 es una pendiente de #1/13# así corresponde a un triángulo rectángulo con opuesto #1#adyacente #13# y hipotenusa #sqrt {13 ^ 2 + 1 ^ 2} = sqrt {170}. #
#cos (text {Arc} text {cot} 13) = cos 4.4 ^ circ = {13} / sqrt {170} #
#sin (text {Arc} text {cot} 13) = sin 4.4 ^ circ = {1} / sqrt {170} #
Ahora aplicamos las fórmulas de medio ángulo. Para nuestro ángulo de adolescente en el primer cuadrante, elegimos los signos positivos.
#cos (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = cos 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 + cos (4.4 ^ circ))} = sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #
Podríamos tratar de simplificar y mover las fracciones fuera del radical, pero lo dejaré aquí.
#sin (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = sin 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 - cos (4.4 ^ circ))} = sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #
El ángulo medio tangente es el cociente de esos, pero es más fácil de usar
# tan (theta / 2) = {sin theta} / {1 + cos theta} #
#tan (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = tan 2.2 ^ circ = {1 / sqrt {170}} / {1 + {13} / sqrt {170}} = sqrt (170) - 13 #
OK, eso es todo lo difícil, pero no olvidemos los otros ángulos.
# cos 182.2 ^ circ = - cos 2.2 ^ circ = - sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #
#sin 182.2 ^ circ = -sin 2.2 ^ circ = - sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #
# tan 182.2 ^ circ = tan 2.2 ^ circ = sqrt (170) - 13 #
Ahora tenemos los ángulos restantes, que intercambian el seno y el coseno, cambiando los signos. No repetiremos las formas excepto la tangente.
# cos 92.2 ^ circ = - sin 2.2 ^ circ #
#sin 92.2 ^ circ = cos 2.2 ^ circ #
# tan 92.2 ^ circ = -1 / {tan 2.2 ^ circ} = -13 - sqrt (170) #
# cos 272.2 ^ circ = sin 2.2 ^ circ #
#sin 272.2 ^ circ = - cos 2.2 ^ circ #
# tan 272.2 ^ circ = tan 92.2 ^ circ = -13 - sqrt (170) #
Uf.
Responder:
#color (índigo) (tan (x / 2) = 0.0384, sin (x / 2) = + -0.0384, cos (x / 2) = + - 1 #
#color (carmesí) (tan (x / 2) = -26.0384, sin (x / 2) = + - 0.9993, cos (x / 2) = + - 0.0384 #
Explicación:
# tan (2x) = (2 tan x) / (1 - tan ^ 2x) #
#sin 2x = (2 tan x) / (1 + tan ^ ^ 2 x) #
+ cos 2x = (1- 2tan ^ 2 x) / (1 + tan ^ ^ 2 x) #
#cot x = 1 / tan x = 13 #
#tan x = 1/13 #
#tan x = 1/13 = (2 tan (x / 2)) / (1 - tan ^ 2 (x / 2) #
# 1 - tan ^ 2 (x / 2) = 26 tan (x / 2) #
# tan * 2 (x / 2) + 26 tan (x / 2) - 1 = 0 #
#tan (x / 2) = (-26 + - sqrt (26 ^ 2 + 4)) / 2 #
#tan (x / 2) = (-26 + - sqrt (680)) / 2 #
#tan (x / 2) = 0.0384, -26.0384 #
# csc ^ 2x = 1 + cuna ^ 2 x #
#:. csc ^ 2 (x / 2) = 1 + cuna ^ 2 (x / 2) #
Pero wen sabe #cot (x / 2) = 1 / tan (x / 2) #
Cuando #tan (x / 2) = 0.0384 #, # csc ^ 2 (x / 2) = 1 + (1 / 0.0384) ^ 2 = 679.1684 #
#csc (x / 2) = sqrt (679.1684) = + -26.0609 #
#sin (x / 2) = + - (1 / 26.0609) = + -0.0384 #
#cos (x / 2) = sin (x / 2) / tan (x / 2) = + - 0.0384 / 0.0384 = + - 1 #
Cuando #tan (x / 2) = -26.0384 #, #csc ^ 2 (x / 2) = 1 + (1 / (-26.0384) ^ 2) = 1.0015 #
#sin (x / 2) = 1 / sqrt (1.0015) = + -0.9993 #
#cos (x / 2) = sin (x / 2) / tan (x / 2) = + -0.9993 / -26.0384 = + -0.0384 #
