Responder:
# -xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + 1 + e ^ 2 #
Explicación:
Comience utilizando la regla de la suma para las integrales y divídalos en dos integrales separadas:
# intxe ^ (2-x) dx + int3x ^ 2dx #
La primera de estas mini-integrales se resuelve utilizando la integración por partes:
Dejar # u = x -> (du) / dx = 1-> du = dx #
# dv = e ^ (2-x) dx-> intdv = inte ^ (2-x) dx-> v = -e ^ (2-x) #
Ahora usando la fórmula de integración por partes. # intudv = uv-intvdu #, tenemos:
# intxe ^ (2-x) dx = (x) (- e ^ (2-x)) - int (-e ^ (2-x)) dx #
# = - xe ^ (2-x) + inte ^ (2-x) dx #
# = - xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) #
El segundo de estos es un caso de la regla de potencia inversa, que establece:
# intx ^ ndx = (x ^ (n + 1)) / (n + 1) #
Asi que # int3x ^ 2dx = 3 ((x ^ (2 + 1)) / (2 + 1)) = 3 (x ^ 3/3) = x ^ 3 #
Por lo tanto, # intxe ^ (2-x) + 3x ^ 2dx = -xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + C # (¡Recuerda agregar la constante de integración!)
Nos dan la condición inicial #f (0) = 1 #, asi que:
# 1 = - (0) e ^ (2- (0)) - e ^ (2- (0)) + (0) ^ 3 + C #
# 1 = -e ^ 2 + C #
# C = 1 + e ^ 2 #
Haciendo esta sustitución final, obtenemos nuestra solución final:
# intxe ^ (2-x) + 3x ^ 2dx = -xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + 1 + e ^ 2 #
