¿Cómo se multiplica (4 + 6i) (3 + 7i) en forma trigonométrica?

En primer lugar tenemos que convertir estos dos números en formas trigonométricas.

Si # (a + ib) # es un número complejo, # u # es su magnitud y #alfa# es su ángulo entonces # (a + ib) # en forma trigonométrica se escribe como #u (cosalpha + isinalpha) #.

Magnitud de un número complejo. # (a + ib) # es dado por#sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # y su ángulo está dado por # tan ^ -1 (b / a) #

Dejar # r # ser la magnitud de # (4 + 6i) # y # theta # sea su angulo

Magnitud de # (4 + 6i) = sqrt (4 ^ 2 + 6 ^ 2) = sqrt (16 + 36) = sqrt52 = 2sqrt13 = r #

Ángulo de # (4 + 6i) = Bronceado ^ -1 (6/4) = bronceado ^ -1 (3/2) = theta #

#implies (4 + 6i) = r (Costheta + isintheta) #

Dejar # s # ser la magnitud de # (3 + 7i) # y #fi# sea su angulo

Magnitud de # (3 + 7i) = sqrt (3 ^ 2 + 7 ^ 2) = sqrt (9 + 49) = sqrt58 = s #

Ángulo de # (3 + 7i) = Tan ^ ^ (7/3) = phi #

#implies (3 + 7i) = s (Cosphi + isinphi) #

Ahora,

# (4 + 6i) (3 + 7i) #

# = r (Costheta + isintheta) * s (Cosphi + isinphi) #

# = rs (costhetacosphi + isinthetacosphi + icosthetasinphi + i ^ 2sinthetasinphi) #

# = rs (costhetacosphi-sinthetasinphi) + i (sinthetacosphi + costhetasinphi) #

# = rs (cos (theta + phi) + isin (theta + phi)) #

Aquí tenemos todas las cosas presentes, pero si aquí sustituyes directamente los valores, la palabra sería desagradable para encontrar # theta + phi # así que primero averigüemos # theta + phi #.

# theta + phi = tan ^ -1 (3/2) + tan ^ -1 (7/3) #

Lo sabemos:

# tan ^ -1 (a) + tan ^ -1 (b) = tan ^ -1 ((a + b) / (1-ab)) #

#implies tan ^ -1 (3/2) + tan ^ -1 (7/3) = tan ^ -1 (((3/2) + (7/3)) / (1- (3/2) (7/3))) = tan ^ -1 ((9 + 14) / (6-21)) #

# = tan ^ -1 ((23) / (- 15)) = tan ^ -1 (-23/15) #

# aplica theta + phi = tan ^ -1 (-23/15) #

#rs (cos (theta + phi) + isin (theta + phi)) #

# = 2sqrt13sqrt58 (cos (tan ^ -1 (-23/15)) + isin (tan ^ -1 (-23/15))) #

# = 2sqrt (754) (cos (tan ^ -1 (-23/15)) + isin (tan ^ -1 (-23/15))) #

Esta es tu respuesta final.

También puedes hacerlo por otro método.

En primer lugar, multiplicando los números complejos y luego cambiándolos a la forma trigonométrica, que es mucho más fácil que esto.

# (4 + 6i) (3 + 7i) = 12 + 28i + 18i + 42i ^ 2 = 12 + 46i-42 = -30 + 46i #

Ahora cambia # -30 + 46i # en forma trigonométrica.

Magnitud de # -30 + 46i = sqrt ((- 30) ^ 2 + (46) ^ 2) = sqrt (900 + 2116) = sqrt3016 = 2sqrt754 #

Ángulo de # -30 + 46i = tan ^ -1 (46 / -30) = tan ^ -1 (-23/15) #

#implies -30 + 46i = 2sqrt754 (cos (tan ^ -1 (-23/15)) + isin (tan ^ -1 (-23/15))) #