Responder:
Vea abajo.
Explicación:
Las raices para
Las raíces serán coincidentes y reales si
o
Ahora resolviendo
La condición para raíces complejas es
ahora haciendo
Concluyendo, si
Nos dan que la ecuación:
# bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 #
tiene una raíz real, por lo tanto, el discriminante de esta ecuación es cero:
# Delta = 0 #
# => (- (a-3b)) ^ 2 - 4 (b) (b) = 0 #
#:. (a-3b) ^ 2 - 4b ^ 2 = 0 #
#:. a ^ 2-6ab + 9b ^ 2 - 4b ^ 2 = 0 #
#:. a ^ 2-6ab + 5b ^ 2 = 0 #
#:. (a-5b) (a-b) = 0 #
#:. a = b # o# a = 5b #
Buscamos mostrar la ecuación:
# x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 #
No tiene raíces reales. Esto requeriría un discriminante negativo. El discriminante para esta ecuación es:
# Delta = (a-b) ^ 2 - 4 (1) (ab-b ^ 2 + 1) #
# = a ^ 2-2ab + b ^ 2 -4ab + 4b ^ 2-4 #
# = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #
Y ahora consideremos los dos casos posibles que satisfacen la primera ecuación:
Caso 1:
# Delta = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #
# = (b) ^ 2-6 (b) b + 5b ^ 2-4 #
# = b ^ 2-6b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #
# = -4 #
# lt 0 #
Caso 2:
# Delta = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #
# = (5b) ^ 2-6 (5b) b + 5b ^ 2-4 #
# = 25b ^ 2-30b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #
# = -4 #
# lt 0 #
Por lo tanto, las condiciones de la primera ecuación son tales que la segunda ecuación siempre tiene un discriminante negativo y, por lo tanto, tiene raíces complejas (es decir, no tiene raíces reales), QED