¿Cuál es la derivada de y = (sinx) ^ x?

Responder:

# dy / dx = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Explicación:

Utilizar la diferenciación logarítmica.

#y = (sinx) ^ x #

#lny = ln ((sinx) ^ x) = xln (sinx) # (Utilizar propiedades de # ln #)

Diferenciación implícita: (Utilice la regla del producto y el ruel de la cadena)

# 1 / y dy / dx = 1ln (sinx) + x 1 / sinx cosx #

Entonces tenemos:

# 1 / y dy / dx = ln (sinx) + x cotx #

Resolver # dy / dx # multiplicando por #y = (sinx) ^ x #, # dy / dx = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Responder:

# d / dx (sinx) ^ x = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Explicación:

La forma más fácil de ver esto es usando:

# (sinx) ^ x = e ^ (ln ((sinx) ^ x)) = e ^ (xln (sinx)) #

Tomando el derivado de esto da:

# d / dx (sinx) ^ x = (d / dxxln (sinx)) e ^ (xln (sinx)) #

# = (ln (sinx) + xd / dx (ln (sinx))) (sinx) ^ x #

# = (ln (sinx) + x (d / dxsinx) / sinx) (sinx) ^ x #

# = (ln (sinx) + xcosx / sinx) (sinx) ^ x #

# = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Ahora debemos señalar que si # (sinx) ^ x = 0 #, #ln ((sinx) ^ x) # es indefinido.

Sin embargo, cuando analizamos el comportamiento de la función en torno al #X#Para lo que se sostiene, encontramos que la función se comporta lo suficientemente bien como para que esto funcione, porque, si:

# (sinx) ^ x # enfoques 0

entonces:

#ln ((sinx) ^ x) # se acercará # -oo #

asi que:

# e ^ (ln ((sinx) ^ x)) # se acercará a 0 también

Además, observamos que si #sinx <0 #, #ln ((sinx) ^ x) # será un número complejo; sin embargo, todo el álgebra y el cálculo que hemos utilizado funcionan también en el plano complejo, por lo que no es un problema.

Responder:

Más generalmente…

Explicación:

# d / dx f (x) ^ g (x) = g (x) / f (x) f '(x) + g' (x) ln (f (x)) f (x) ^ g (x) #

¿Cuál es la primera derivada y la segunda derivada de 4x ^ (1/3) + 2x ^ (4/3)?

(dy) / (dx) = 4/3 * x ^ (- 2/3) + 8/3 * x ^ (1/3) "(la primera derivada)" (d ^ 2 y) / (dt ^ 2 ) = 8/9 * x ^ (- 2/3) (- x ^ -1 + 1) "(la segunda derivada)" y = 4x ^ (1/3) + 2x ^ (4/3) (dy) / (dx) = 1/3 * 4 * x ^ ((1 / 3-1)) + 4/3 * 2x ^ ((4 / 3-1)) (dy) / (dx) = 4/3 * x ^ (- 2/3) + 8/3 * x ^ (1/3) "(la primera derivada)" (d ^ 2 y) / (dt ^ 2) = - 2/3 * 4/3 * x ^ ((- 2 / 3-1)) + 8/3 * 1/3 * x ^ ((1 / 3-1)) (d ^ 2 y) / (dt ^ 2) = - 8/9 * x ^ ((- 5/3)) + 8/9 * x ^ ((- 2/3) (d ^ 2 y) / (dt ^ 2) = 8/9 * x ^ (- 2/3) (- x ^ -1 + 1) "(la segunda derivada)"

¿Cuál es la segunda derivada de x / (x-1) y la primera derivada de 2 / x?

Pregunta 1 Si f (x) = (g (x)) / (h (x)) entonces por la Regla de cociente f '(x) = (g' (x) * h (x) - g (x) * h '(x)) / ((g (x)) ^ 2) Entonces, si f (x) = x / (x-1) entonces la primera derivada f' (x) = ((1) (x-1) - (x) (1)) / x ^ 2 = - 1 / x ^ 2 = - x ^ (- 2) y la segunda derivada es f '' (x) = 2x ^ -3 Pregunta 2 Si f (x) = 2 / x esto se puede reescribir como f (x) = 2x ^ -1 y usando procedimientos estándar para tomar la derivada f '(x) = -2x ^ -2 o, si prefiere f' (x) = - 2 / x ^ 2

¿Cuál es la primera derivada y la segunda derivada de x ^ 4 - 1?

F ^ '(x) = 4x ^ 3 f ^' '(x) = 12x ^ 2 para encontrar la primera derivada, simplemente debemos usar tres reglas: 1. Regla de potencia d / dx x ^ n = nx ^ (n-1 ) 2. Regla de constante d / dx (c) = 0 (donde c es un número entero y no una variable) 3. Regla de suma y diferencia d / dx [f (x) + - g (x)] = [f ^ ' (x) + - g ^ '(x)] la primera derivada da como resultado: 4x ^ 3-0 que simplifica a 4x ^ 3 para encontrar la segunda derivada, debemos derivar la primera derivada aplicando nuevamente la regla de potencia que resulta en : 12x ^ 3 puede continuar si lo desea: tercera derivada = 36x ^ 2 cuarta deri