Considera la ecuación cuadrática. # x ^ 2 + 4x + 4 = 0 #, que, en el lado izquierdo, es también un trinomio cuadrado perfecto. Factoring para resolver:
# => (x + 2) (x + 2) = 0 #
# => x = -2 y -2 #
¡Dos soluciones idénticas! Recuerde que las soluciones de una ecuación cuadrática son las x intercepciones en la función cuadrática correspondiente.
Así, las soluciones a la ecuación. # x ^ 2 + 5x + 6 = 0 #, por ejemplo, serán las x intercepciones en la gráfica de #y = x ^ 2 + 5x + 6 #.
Del mismo modo, las soluciones a la ecuación. # x ^ 2 + 4x + 4 = 0 # Serán las x intercepciones en la gráfica de #y = x ^ 2 + 4x + 4 #.
Dado que realmente hay una sola solución para # x ^ 2 + 4x + 4 = 0 #, el vértice de la función #y = x ^ 2 + 4x + 4 # se encuentra en el eje x
Ahora, piensa en el discriminante de una ecuación cuadrática. Si no tienes experiencia previa con él, no te preocupes.
Utilizamos el discriminante, # b ^ 2 - 4ac #, para verificar cuántas soluciones, y el tipo de solución, una ecuación cuadrática de la forma # ax ^ 2 + bx + c = 0 # Puede tener sin resolver la ecuación.
Cuando el discriminante es igual a menos de #0#, la ecuación tendrá sin solución. Cuando el discriminante es exactamente igual a cero, la ecuación tendrá exactamente una solución. Cuando el discriminante es igual a cualquier número más que cero, habrá exactamente dos soluciones. Si el número en cuestión que obtienes como resultado es un cuadrado perfecto en este último caso, la ecuación tendrá dos soluciones racionales. Si no, tendrá dos soluciones irracionales.
Ya he demostrado que cuando tienes un trinomio cuadrado perfecto, tendrás dos soluciones idénticas, que es igual a una solución. Por lo tanto, podemos establecer el discriminante a #0# y resolver para #do#.
Dónde #a = 1, b = 14 y c =? #:
# b ^ 2 - 4ac = 0 #
# 14 ^ 2 - 4 xx 1 xx c = 0 #
# 196 - 4c = 0 #
# 4c = 196 #
#c = 49 #
Así, el trinomio cuadrado perfecto con #a = 1 y b = 14 # es # x ^ 2 + 14x + 49 #. Podemos verificar esto mediante la factorización.
# x ^ 2 + 14x + 49 = (x + 7) (x + 7) = (x + 7) ^ 2 #
Ejercicios de práctica:
- Usando el discriminante, determine los valores de #a, b, o c # Eso hace que los trinomios sean cuadrados perfectos.
una) # ax ^ 2 - 12x + 4 #
segundo) # 25x ^ 2 + bx + 64 #
do) # 49x ^ 2 + 14x + c #
Esperemos que esto ayude, y buena suerte!
