Una longitud de 20 cm de cuerda se corta en dos piezas. ¿Una de las piezas se usa para formar un perímetro de un cuadrado?

Responder:

# "Área total mínima = 10.175 cm²." #

# "Área total máxima = 25 cm²." #

Explicación:

# "Nombre x la longitud de la pieza para formar un cuadrado." #

# "Entonces el área del cuadrado es" (x / 4) ^ 2 "." #

# "El perímetro del triángulo es" 20-x "." #

# "Si y es uno de los lados iguales del triángulo, entonces tenemos" #

# 2 * y + sqrt (y ^ 2 + y ^ 2) = 20-x #

# => y * (2 + sqrt (2)) = 20-x #

# => y = (20-x) / (2 + sqrt (2)) #

# => área = y ^ 2/2 = (20-x) ^ 2 / ((4 + 2 + 4 sqrt (2)) * 2) #

# = (20-x) ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) #

# "Área total =" (x / 4) ^ 2 + (20-x) ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) #

# = x ^ 2/16 + x ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) - 40 x / (12 + 8 sqrt (2)) + 400 / (12 + 8sqrt (2)) #

# = x ^ 2 (1/16 + 1 / (12 + 8sqrt (2))) - (40 / (12 + 8sqrt (2))) x + 400 / (12 + 8sqrt (2)) #

# "Esto es una parábola y el mínimo para una parábola" #

#a x ^ 2 + b x + c = 0 "es" x = -b / (2 * a) ", si a> 0." #

# "El máximo es" x-> oo ", si a> 0." #

# "Entonces el mínimo es" #

#x = 40 / (12 + 8sqrt (2)) / (1/8 + 1 / (6 + 4sqrt (2))) #

# = 40 / (12 + 8sqrt (2)) / ((6 + 4sqrt (2) +8) / (8 (6 + 4sqrt (2)))) #

# = 160 / (14 + 4 sqrt (2)) #

# = 160 * (14-4 sqrt (2)) / (196-32) #

# = (160/164) * (14-4 * sqrt (2)) #

# = (80/41) * (7-sqrt (8)) #

# = 8.13965 "cm" #

# => "Área total =" 10.175 "cm²." #

# "El máximo es x = 0 o x = 20." #

# "Verificamos el área:" #

# "Cuando" x = 0 => "area =" 400 / (12 + 8sqrt (2)) = 17.157 "cm²" #

# "Cuando" x = 20 => "area =" 5 ^ 2 = 25 "cm²" #

# "Entonces, el área total máxima es de 25 cm²".

Responder:

El área mínima es #10.1756# y maximo es #25#

Explicación:

El perímetro de un triángulo isósceles en ángulo recto de lado. #una# es # a + a + sqrt2a = a (2 + sqrt2) # y su area es # a ^ 2/2 #,

Que una pieza sea #X# cm. a partir de la cual formamos un triángulo isósceles en ángulo recto. Es evidente que el lado del triángulo isósceles en ángulo recto sería # x / (2 + sqrt2) # y su area seria

# x ^ 2 / (2 (2 + sqrt2) ^ 2) = x ^ 2 / (2 (6 + 4sqrt2)) #

= # (x ^ 2 (6-4sqrt2)) / (2 (36-32)) = (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

El perímetro de la otra parte de la cuerda que forma un cuadrado es # (20-x) # y como lado de la plaza es # (20-x) / 4 # su area es # (20-x) ^ 2/16 # y área total # T # de los dos es

# T = (20-x) ^ 2/16 + (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

= # (400-40x + x ^ 2) / 16 + (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

= # 25- (5x) / 2 + x ^ 2 (1/16 + (3-2sqrt2) / 4) #

Observa eso # 3-2sqrt2> 0 #, de ahí el coeficiente de # x ^ 2 # es positivo y por lo tanto tendremos un mínimo y podemos escribir # T # como

# T = 0.1054x ^ 2-2.5x + 25 #

= # 0.1054 (x ^ 2-23.7192x + (11.8596) ^ 2) + 25-0.1054xx (11.8596) ^ 2 #

= # 0.1054 (x-11.8596) ^ 2 + 10.1756 #

Como # 0.1054 (x-11.8596) ^ 2 # Siempre es positivo, tenemos un valor mínimo de # T # cuando # x = 11.8596 #.

Observe que teóricamente no hay máximos para la función, pero como valor de #X# entre mentiras #0,20#, y cuando # x = 0 #, tenemos # T = 0.1054 (0-11.8596) ^ 2 + 10.1756 #

= # 0.1054xx11.8596 ^ 2 + 10.1756 = 25 #

y cuando # x = 20 # cuando # T = 0.1054 (20-11.8596) ^ 2 + 10.1756 #

= # 0.1054xx8.1404 ^ 2 + 10.1756 = 17.16 #

y por ende maxima es #25#

gráfico {25- (5x) / 2 + x ^ 2 (1/16 + (3-2sqrt2) / 4) -11.92, 28.08, -0.96, 19.04}