¿Cuáles son las pruebas de divisibilidad de varios números?

Hay muchas pruebas de divisibilidad. Aquí están algunos, junto con cómo se pueden derivar.

• Un entero es divisible por #2# Si el dígito final es par.

• Un entero es divisible por #3# Si la suma de sus dígitos es divisible por 3.

• Un entero es divisible por #4# si el entero formado por los dos últimos dígitos es divisible por 4.

• Un entero es divisible por #5# si el dígito final es 5 o 0

• Un entero es divisible por #6# Si es divisible por 2 y por 3.

• Un entero es divisible por #7# si restar dos veces el último dígito del entero formado al eliminar el último dígito es un múltiplo de 7.

• Un entero es divisible por #8# si el número entero formado por los últimos tres dígitos es divisible por 8 (esto puede hacerse más fácil al observar que la regla es la misma que para 4s si el dígito de las centenas es par, y lo contrario es lo contrario)

• Un entero es divisible por #9# Si la suma de los dígitos es divisible por 9.

• Un entero es divisible por #10# si el ultimo digito es #0#

Para estos y más, eche un vistazo a la página de wikipedia para ver las reglas de divisibilidad.

Ahora, uno puede preguntarse sobre cómo crear estas reglas, o al menos demostrar que realmente funcionarán. Una forma de hacerlo es con un tipo de matemática llamada aritmética modular.

En aritmética modular, elegimos un entero. #norte# como el módulo y luego tratar a todos los demás enteros como siendo modulo congruente #norte# a su resto cuando se divide por #norte#. Una forma fácil de pensar sobre esto es que puedes sumar o restar #norte# sin cambiar el valor de un módulo entero n. Esto es lo mismo que cómo, en un reloj analógico, sumar doce horas resulta al mismo tiempo. Añadir horas en un reloj es módulo adicional. #12#.

Lo que hace que la aritmética modular sea muy útil para determinar las reglas de divisibilidad es que para alguna entero #una# y entero positivo #segundo#, podemos decir eso #una# es divisible por #segundo# si y solo si

# a- = 0 "(mod b)" # (#una# es congruente con #0# modulo #segundo#).

Vamos a usar esto para ver por qué la regla de divisibilidad para #3# trabajos. Lo haremos usando un ejemplo que muestre el concepto general. En este ejemplo, veremos por qué #53412# es divisible por #3#. Recuerda que sumar o restar #3# no cambiará el valor de un modulo entero #3#.

#53412# es divisible por #3# si y solo si # 53412 - = 0 "(mod 3)" #

Pero tambien porque #10 -3 -3 -3 = 1#, tenemos # 10 - = 1 "(mod 3)" #

Así:

# 53412 - = 5 * 10 ^ 5 + 3 * 10 ^ 4 + 4 * 10 ^ 3 + 1 * 10 ^ 2 + 2 "(mod 3)" #

# - = 5 * 1 ^ 5 + 3 * 1 ^ 4 + 4 * 1 ^ 3 + 1 * 1 ^ 2 + 2 "(mod 3)" #

#color (rojo) (- = 5 + 3 + 4 + 1 + 2 "(mod 3)") #

# - = 3 * 5 "(mod 3)" #

# - = 0 * 5 "(mod 3)" #

# - = 0 "(mod 3)" #

Así #53412# es divisible por #3#. El paso en rojo demuestra por qué podemos simplemente sumar los dígitos y verificar que en lugar de tratar de dividir el número original por #3#.