Pregunta # 3cbbc

Responder:

# int_0 ^ (pi / 4) (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) dx = 0.2746530521 #

Explicación:

Mi solución es la regla de Simpson, la fórmula de aproximación.

# int_a ^ b y * dx ~ = #

# h / 3 (y_0 + 4 * y_1 + 2 * y_2 + 4 * y_3 + 2 * y_4 + ….. + 4 * y_ (n-1) + y_n) #

Dónde # h = (b-a) / n # y #segundo# el límite superior y #una# el límite inferior

y #norte# cualquier número par (cuanto más grande, mejor)

elegí

# n = 20 #

dado # b = pi / 4 # y # a = 0 #

# h = (pi / 4-0) / 20 = pi / 80 #

Esta es la forma de calcular. Cada # y = (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) # utilizará un valor diferente

para # y_0 #

# x_0 = (a + 0 * h) = (0 + 0 * pi / 80) = 0 #

# y_0 = (sin x_0 + cos x_0) / (3 + sin 2x_0) #

# y_0 = (sin (0) + cos (0)) / (3 + sin 2 (0)) #

#color (rojo) (y_0 = 0.3333333333333) #

para # 4 * y_1 #

# x_1 = (a + 1 * h) = (0 + 1 * pi / 80) = pi / 80 #

# 4 * y_1 = 4 * (sin x_1 + cos x_1) / (3 + sin 2x_1) #

# 4 * y_1 = 4 * (sin (pi / 80) + cos (pi / 80)) / (3 + sin (2 (pi / 80))) #

#color (rojo) (4 * y_1 = 1.3493618978936) #

para # 2 * y_2 #

# x_2 = (a + 2 * h) = (0 + 2 * pi / 80) = 2 * pi / 80 #

# 2 * y_2 = 2 * (sin x_2 + cos x_2) / (3 + sin 2x_2) #

# 2 * y_2 = 2 * (sin ((2pi) / 80) + cos ((2pi) / 80)) / (3 + sin 2 ((2pi) / 80)) #

#color (rojo) (2 * y_2 = 0.68138682514816) #

para # 4 * y_3 #

# x_3 = (a + 3 * h) = (0 + 3 * pi / 80) = 3 * pi / 80 #

# 4 * y_3 = 4 * (sin x_3 + cos x_3) / (3 + sin 2x_3) #

# 4 * y_3 = 4 * (sin ((3pi) / 80) + cos ((3pi) / 80)) / (3 + sin 2 ((3pi) / 80)) #

#color (rojo) (4 * y_3 = 1.3738977832468) #

para # 2 * y_4 #

# x_4 = (a + 4 * h) = (0 + 4 * pi / 80) = 4 * pi / 80 #

# 2 * y_4 = 4 * (sin x_4 + cos x_4) / (3 + sin 2x_4) #

# 2 * y_4 = 4 * (sin ((4pi) / 80) + cos ((4pi) / 80)) / (3 + sin 2 ((4pi) / 80)) #

#color (rojo) (2 * y_4 = 0.69151824096418) #

el resto son los siguientes

#color (rojo) (4 * y_5 = 1.3904648494964) #

#color (rojo) (2 * y_6 = 0.69821575035862) #

#color (rojo) (4 * y_7 = 1.4011596185484) #

#color (rojo) (2 * y_8 = 0.70242415421322) #

#color (rojo) (4 * y_9 = 1.4076741205702) #

#color (rojo) (2 * y_10 = 0.70489632049832) #

#color (rojo) (4 * y_11 = 1.4113400771087) #

#color (rojo) (2 * y_12 = 0.7062173920012) #

#color (rojo) (4 * y_13 = 1.4131786935757) #

#color (rojo) (2 * y_14 = 0.7068293103707) #

#color (rojo) (4 * y_15 = 1.4139474301694) #

#color (rojo) (2 * y_16 = 0.70705252678954) #

#color (rojo) (4 * y_17 = 1.414179352209) #

#color (rojo) (2 * y_18 = 0.70710341105534) #

#color (rojo) (4 * y_19 = 1.4142131417552) #

#color (rojo) (y_20 = 0.35355339059328) #

La suma de todos estos #color (rojo) ("suma" = 20.98194762) #

# int_0 ^ (pi / 4) (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) dx = (h / 3) * "suma" #

# int_0 ^ (pi / 4) (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) dx = ((pi / 80) / 3) * 20.98194762 #

# int_0 ^ (pi / 4) (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) dx = color (rojo) (0.2746530521) #

Una alternativa es simplemente usar una calculadora gráfica cuando surja una integración complicada con un valor más preciso

#color (rojo) (= 0.2746530722) #

Dios bendiga … Espero que la explicación sea útil.

Responder:

# int_0 ^ (pi / 4) (sin (x) + cos (x)) / (3 + sin (2x)) dx = ln (3) / 4 #

Explicación:

Procederemos utilizando la sustitución. Primero, analizaremos algunos álgebra para obtener el integrando en una forma más deseable.

# 3 + sin (2x) = 3 + 2sin (x) cos (x) #

# = 4 + 2sin (x) cos (x) - 1 #

# = 4 + 2sin (x) cos (x) - sin ^ 2 (x) -cos ^ 2 (x) #

# = 4 - (sin (x) -cos (x)) ^ 2 #

# = (2 + sin (x) - cos (x)) (2 - sin (x) + cos (x)) #

# => (sin (x) + cos (x)) / (3 + sin (2x)) = (sin (x) + cos (x)) / ((2 + sin (x) -cos (x)) (2-sin (x) + cos (x))) #

# = (4 (sin (x) + cos (x))) / (4 (2 + sin (x) -cos (x)) (2-sin (x) + cos (x)) #

# = (sin (x) + cos (x)) / 4 xx #

# xx4 / ((2 + sin (x) -cos (x)) (2-sin (x) + cos (x)) #

# = (sin (x) + cos (x)) / 4 xx #

#xx (1 / (2 + sin (x) -cos (x)) + 1 / (2-sin (x) + cos (x))) #

# = 1 / 4xx (sin (x) + cos (x)) / (2 + sin (x) -cos (x)) - 1 / 4xx (-sin (x) -cos (x)) / (2- sin (x) + cos (x)) #

Usando eso, podemos dividir la integral:

# int_0 ^ (pi / 4) (sin (x) + cos (x)) / (3 + sin (2x)) dx = #

# = 1 / 4int_0 ^ (pi / 4) (sin (x) + cos (x)) / (2 + sin (x) -cos (x)) dx #

# - 1 / 4int_0 ^ (pi / 4) (- sin (x) -cos (x)) / (2-sin (x) + cos (x)) dx #

Para la primera integral, utilizando la sustitución. #u = 2 + sin (x) - cos (x) # Nos da #du = (sin (x) + cos (x)) dx # y los límites de la integración cambian desde #0# y # pi / 4 # a #1# y #2#. Así, obtenemos

# 1 / 4int_0 ^ (pi / 4) (sin (x) + cos (x)) / (2 + sin (x) -cos (x)) dx = int_1 ^ 2 1 / udu #

# = 1/4 (ln | u |) _1 ^ 2 #

# = 1/4 (ln (2) -ln (1)) #

# = 1 / 4ln (2) #

Para la segunda integral, utilizando la sustitución. #u = 2 - sin (x) + cos (x) # Nos da #du = (-sin (x) -cos (x)) dx # y los límites de la integración cambian desde #0# y # pi / 4 # a #3# y #2#. Así, obtenemos

# -1 / 4int_0 ^ (pi / 4) (- sin (x) -cos (x)) / (2-sin (x) + cos (x)) dx = -1 / 4int_3 ^ 2 1 / udu #

# = 1 / 4int_2 ^ 3 1 / udu #

# = 1/4 (ln (3) -ln (2)) #

# = 1/4 (ln (3/2)) #

Sustituir los valores por las integrales nos da el resultado deseado:

# int_0 ^ (pi / 4) (sin (x) + cos (x)) / (3 + sin (2x)) dx = 1 / 4ln (2) + 1 / 4ln (3/2) #

# = 1/4 (ln (2) + ln (3/2)) #

# = 1 / 4ln (2 * 3/2) #

# = ln (3) / 4 #