Si el radio de una esfera aumenta a una velocidad de 4 cm por segundo, ¿a qué velocidad aumenta el volumen cuando el diámetro es de 80 cm?

Responder:

12,800cm3s

Explicación:

Este es un problema clásico relacionado con las tasas. La idea detrás de las tasas relacionadas es que usted tiene un modelo geométrico que no cambia, incluso cuando los números cambian.

Por ejemplo, esta forma seguirá siendo una esfera aunque cambie de tamaño. La relación entre el volumen y el radio de a where es

# V = 4 / 3pir ^ 3 #

Mientras esto relación geométrica no cambia a medida que la esfera crece, entonces podemos derivar esta relación implícitamente y encontrar una nueva relación entre las tasas de cambio.

La diferenciación implícita es donde derivamos cada variable en la fórmula, y en este caso, derivamos la fórmula con respecto al tiempo.

Entonces tomamos el derivado de nuestra esfera:

# V = 4 / 3pir ^ 3 #

# (dV) / (dt) = 4 / 3pi (3r ^ 2) (dr) / dt #

# (dV) / (dt) = 4pir ^ 2 (dr) / dt #

En realidad nos dieron # (dr) / (dt) #. Sus # 4 (cm) / s #.

Nos interesa el momento en que el diámetro es de 80 cm, que es cuando el radio Será de 40 cm.

La tasa de aumento del volumen es # (dV) / (dt) #, que es lo que buscamos, entonces:

# (dV) / (dt) = 4pir ^ 2 (dr) / dt #

# (dV) / (dt) = 4pi (40cm) ^ 2 (4 (cm) / s) #

# (dV) / (dt) = 4pi (1600cm ^ 2) (4 (cm) / s) #

# (dV) / (dt) = 4pi (1600cm ^ 2) (4 (cm) / s) #

# (dV) / (dt) = 12,800 (cm ^ 3) / s #

Y las unidades incluso funcionan correctamente, ya que deberíamos obtener un volumen dividido por tiempo.

Espero que esto ayude.