¿Qué es cos [sin ^ (- 1) (- 1/2) + cos ^ (- 1) (5/13)]?

Responder:

#rarrcos cos ^ (- 1) (5/13) + sin ^ (- 1) (- 1/2) = (12 + 5sqrt3) / 26 #

Explicación:

#rarrcos cos ^ (- 1) (5/13) + sin ^ (- 1) (- 1/2) #

# = cos cos ^ (- 1) (5/13) -sin ^ (- 1) (1/2) #

# = cos cos ^ (- 1) (5/13) -cos ^ (- 1) (sqrt3 / 2) #

Ahora, usando #cos ^ (- 1) x-cos ^ (- 1) y = xy + sqrt ((1-x ^ 2) * (1-y ^ 2)) #, obtenemos,

#rarrcos cos ^ (- 1) (5/13) -sin ^ (- 1) (1/2) #

# = cos (cos ^ (- 1) (5/13 * sqrt3 / 2 + sqrt ((1- (5/13) ^ 2) * (1- (sqrt (3) / 2) ^ 2)))) #

# = (5sqrt3) / 26 + 12/26 #

# = (12 + 5sqrt3) / 26 #

Responder:

Por la fórmula del ángulo de suma que es

# cos (arcsin (-1/2)) cos (arccos (5/3)) - sin (arcsin (-1/2)) sin (arccos (5/13)) #

# = (pm sqrt {3} / 2) (5/3) - (-1/2) (pm 12/13) #

# = pm {5 sqrt {3}} / 6 pm 6/13 #

Explicación:

#x = cos (arcsin (1/2) + arccos (5/13)) #

Estas preguntas son lo suficientemente confusas con la notación de la función inversa funky. El verdadero problema con preguntas como esta es que generalmente es mejor tratar las funciones inversas como multivalor, lo que puede significar que la expresión también tiene múltiples valores.

También podemos ver el valor de #X# para el valor principal de las funciones inversas, pero se lo dejo a los demás.

De todos modos, este es el coseno de la suma de dos ángulos, y eso significa que empleamos la fórmula de ángulo de suma:

#cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b #

# x = cos (arcsin (-1/2)) cos (arccos (5/3)) - sin (arcsin (-1/2)) sin (arccos (5/13)) #

El coseno del coseno inverso y el seno del seno inverso son fáciles. El coseno del seno inverso y el seno del coseno inverso también son directos, pero ahí es donde entra en juego el problema multivalor.

Generalmente habrá dos ángulos no coterminales que comparten un coseno dado, negaciones entre sí, cuyos senos serán negaciones entre sí. En general, habrá dos ángulos no coterminales que comparten un seno dado, ángulos suplementarios, que tendrán cosenos que son negaciones entre sí. Así que en ambos sentidos tenemos una #pm#. Nuestra ecuación tendrá dos #pm# y es importante tener en cuenta que son independientes, desvinculados.

Echemos #arcsin (-1/2) # primero. Este es, por supuesto, uno de los clichés de trig, # -30 ^ circ # o # -150 ^ circ #. Los cosenos serán # + sqrt {3} / 2 # y # - sqrt {3} / 2 # respectivamente.

Realmente no necesitamos considerar el ángulo. Podemos pensar en el triángulo rectángulo con el opuesto 1 y la hipotenusa 2 y encontrar el adyacente # sqrt {3} # y coseno # pm sqrt {3} / 2 #. O si eso es demasiado pensar, ya que # cos ^ 2theta + sin ^ 2 theta = 1 # entonces #cos (theta) = pm sqrt {1 - sin ^ 2 theta} # Lo que mecánicamente nos permite decir:

# cos (arcsin (-1/2)) = pm sqrt {1 - (-1/2) ^ 2} = pm sqrt {3} / 2 #

Similar, #5,12,13# Pythagorean Triple es empleado aquí, así

#sin (arccos (5/3)) = pm sqrt {1 - (5/13) ^ 2} = pm 12/13 #

# x = (pm sqrt {3} / 2) (5/3) - (-1/2) (pm 12/13) #

#x = pm {5 sqrt {3}} / 6 pm 6/13 #