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Ver explicación …
Explicación:
Si # p = q = r # entonces:
# px ^ 2 + qx + r = qx ^ 2 + rx + p #
Así que cualquier ceros que tengan será en común.
Tenga en cuenta que estas condiciones no son necesarias.
Por ejemplo, si # p = 0 #, #q! = 0 # y #r! = 0 # entonces:
# px ^ 2 + qx + r = 0 # tiene raíz # x = -r / q #
# qx ^ 2 + rx + p = 0 # tiene raíces # x = -r / q # y # x = 0 #
Así que las dos ecuaciones tienen una raíz en común, pero #p! = q # y no requerimos # p + q + r = 0 #.
Responder:
Por favor ver más abajo.
Explicación:
Como # px ^ 2 + qx + r = 0 # y # qx ^ 2 + rx + p = 0 # tener raíz común, dejar que esta raíz sea #alfa#. Entonces
# palpha ^ 2 + qalpha + r = 0 # y # qalpha ^ 2 + ralpha + p = 0 #
y por lo tanto # alpha ^ 2 / (pq-r ^ 2) = alpha / (qr-p ^ 2) = 1 / (pr-q ^ 2) #
y # alfa = (qr-p ^ 2) / (pr-q ^ 2) # y # alpha ^ 2 = (pq-r ^ 2) / (pr-q ^ 2) #
es decir # (qr-p ^ 2) ^ 2 / (pr-q ^ 2) ^ 2 = (pq-r ^ 2) / (pr-q ^ 2) #
o # (qr-p ^ 2) ^ 2 = (pq-r ^ 2) (pr-q ^ 2) #
o # q ^ 2r ^ 2 + p ^ 4-2p ^ 2qr = p ^ 2qr-pq ^ 3-pr ^ 3 + q ^ 2r ^ 2 #
o # p ^ 4 + pq ^ 3 + pr ^ 3-3p ^ 2qr = 0 # y dividiendo por #pag#
o # p ^ 3 + q ^ 3 + r ^ 3-3pqr = 0 #
es decir # (p + q + r) (p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp) = 0 #
Por lo tanto # p + q + r = 0 # o # p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp = 0 #
Observar que como # alpha ^ 2 / (pq-r ^ 2) = alpha / (qr-p ^ 2) = 1 / (pr-q ^ 2) #
# alpha ^ 2 / (pq-r ^ 2) = alpha / (qr-p ^ 2) = 1 / (pr-q ^ 2) = (alpha ^ 2 + alpha + 1) / (p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp) #
y si # p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp = 0 #, tenemos # alfa ^ 2 + alfa + 1 = 0 # es decir # p = q = r #
