¿Qué es el lim_ (xrarr1 ^ +) x ^ (1 / (1-x)) cuando x se acerca a 1 desde el lado derecho?

# 1 / e #

# x ^ (1 / (1-x)) #:

gráfico {x ^ (1 / (1-x)) -2.064, 4.095, -1.338, 1.74}

Bueno, esto sería mucho más fácil si simplemente tomáramos la # ln # de ambos lados. Ya que # x ^ (1 / (1-x)) # Es continuo en el intervalo abierto a la derecha de. #1#, podemos decir eso:

#ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x)) #

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln (x ^ (1 / (1-x))) #

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln x / (1-x) #

Ya que #ln (1) = 0 # y #(1 - 1) = 0#, esto es de la forma #0/0# y la regla de L'Hopital se aplica:

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) (1 "/" x) / (- 1) #

Y por supuesto, # 1 / x # es continuo desde cada lado de #x = 1 #.

# => ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x)) = -1 #

Como resultado, el límite original es:

#color (azul) (lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x))) = "exp" (ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x)))) #

# = e ^ (- 1) #

# = color (azul) (1 / e) #