Pregunta # dbd28

Responder:

Defina la distancia entre la gráfica y el punto como una función y encuentre el mínimo.

La cuestión es #(3.5,1.871)#

Explicación:

Para saber qué tan cerca están, necesitas saber la distancia. La distancia euclidiana es:

#sqrt (Δx ^ 2 + Δy ^ 2) #

donde Δx y Δy son las diferencias entre los 2 puntos. Para ser el punto más cercano, ese punto debe tener la distancia mínima. Por lo tanto, nos propusimos:

#f (x) = sqrt ((x-4) ^ 2 + (x ^ (1/2) -0) ^ 2) #

#f (x) = sqrt (x ^ 2-8x + 16 + (x ^ (1/2)) ^ 2) #

#f (x) = sqrt (x ^ 2-8x + 16 + x ^ (1/2 * 2)) #

#f (x) = sqrt (x ^ 2-8x + 16 + x) #

#f (x) = sqrt (x ^ 2-7x + 16) #

Ahora necesitamos encontrar el mínimo de esta función:

#f '(x) = 1 / (2 * sqrt (x ^ 2-7x + 16)) * (x ^ 2-7x + 16)' #

#f '(x) = (2x-7) / (2 * sqrt (x ^ 2-7x + 16)) #

El denominador es siempre positivo como función de raíz cuadrada. El numerador es positivo cuando:

# 2x-7> 0 #

#x> 7/2 #

#x> 3.5 #

Entonces la función es positiva cuando #x> 3.5 #. Del mismo modo, se puede demostrar que es negativo cuando #x <3.5 # Por lo tanto, hay función #f (x) # tiene un mínimo en # x = 3.5 #, lo que significa que la distancia es la menos en # x = 3.5 # La coordenada y de # y = x ^ (1/2) # es:

# y = 3.5 ^ (1/2) = sqrt (3.5) = 1.871 #

Finalmente, el punto donde se observa la menor distancia desde (4,0) es:

#(3.5,1.871)#