¿Cómo resuelves la desigualdad 1 / (x + 1)> 3 / (x-2)?

Responder:

#x <- 5/2 color (blanco) (xx) # o #color (blanco) (xx) -1 <x <2 #

Explicación:

En primer lugar, tenga en cuenta que su desigualdad solo se define si sus denominadores no son iguales a cero:

# x + 1! = 0 <=> x! = -1 #

#x - 2! = 0 <=> x! = 2 #

Ahora, su próximo paso sería "deshacerse" de las fracciones. Esto se puede hacer si se multiplica ambos lados de la desigualdad con # x + 1 # y # x-2 #.

Sin embargo, debe tener cuidado ya que si multiplica una desigualdad con un número negativo, debe voltear el signo de desigualdad.

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Consideremos los diferentes casos:

caso 1: #color (blanco) (xxx) x> 2 #:

Ambos #x + 1> 0 # y #x - 2> 0 # sostener. Por lo tanto, se obtiene:

#x - 2> 3 (x + 1) #

#x - 2> 3x + 3 #

… calcular # -3x # y #+2# a ambos lados…

# -2x> 5 #

… dividido por #-2# a ambos lados. Como #-2# es un número negativo, debes voltear el signo de desigualdad …

#x <- 5/2 #

Sin embargo, no hay #X# que satisface tanto la condición #x> 2 # y #x <- 5/2 #. Por lo tanto, no hay solución en este caso.

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caso 2: #color (blanco) (xxx) -1 <x <2 #:

Aquí, #x + 1> 0 # pero #x - 2 <0 #. Por lo tanto, necesitas voltear el signo de desigualdad una vez y obtienes:

#color (blanco) (i) x - 2 <3 (x + 1) #

#color (blanco) (x) -2x <5 #

… dividido por #-2# y voltea el signo de desigualdad de nuevo

#color (blanco) (xxx) x> -5 / 2 #

La desigualdad #x> -5 / 2 # es cierto para todos #X# en el intervalo # -1 <x <2 #. Así, en este caso, tenemos la solución. # -1 <x <2 #.

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caso 3: #color (blanco) (xxx) x <-1 #:

Aquí, ambos denominadores son negativos. Por lo tanto, si multiplicas la desigualdad con ambos, debes voltear el signo de desigualdad dos veces y obtendrás:

#x - 2> 3x + 3 #

#color (blanco) (i) -2x> 5 #

#color (blanco) (xxi) x <- 5/2 #

Como la condicion #x <-5 / 2 # Es más restrictivo que la condición. #x <-1 #, la solución para este caso es #x <- 5/2 #.

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En total, la solución es

#x <- 5/2 color (blanco) (xx) # o #color (blanco) (xx) -1 <x <2 #

o, si prefieres una notación diferente,

#x en (- oo, -5/2) uu (-1, 2) #.

Responder:

# - oo, -5/2 uu -1, 2 #

Explicación:

# 1 / (x + 1)> 3 / (x-2) #

Dejemos pasar todo el tiempo al lado izquierdo de la desigualdad restando # 3 / (x-2) #:

# 1 / (x + 1) -3 / (x-2)> 0 #

Ahora debemos, poner toda la iniquidad del mismo denominador. La parte con (x + 1) se multiplica por # (x-2) / (x-2) # (que es 1!) y viceversa:

# (x-2) / ((x + 1) (x-2)) - (3 (x + 1)) / ((x + 1) (x-2))> 0 #

Hicimos el truco antes, para tener toda la inecuación con el mismo denominador:

# (- 2x-5) / ((x + 1) (x-2))> 0 #.

# (x + 1) (x-2) # Corresponde a una parábola que da valores positivos en el ineterval. # -oo, -1 uu 2, + oo # y valores negativos en el intervalo #-1, 2#. Recuerde que x no puede ser -1 o 2 debido a que le da un denominador cero.

En el primer caso (denominador positivo) podemos simplificar la desigualdad en:

# -2x-5> 0 # y #x in -oo, -1 uu 2, + oo #

lo que da:

#x <-5 / 2 # y #x in -oo, -1 uu 2, + oo #.

La intercepción de intervalos anteriores da #x <-5 / 2 #.

En el segundo caso, el denominador es negativo, por lo que para el resultado que da un número positivo, el numerador debe ser negativo:

# -2x-5 <0 # y # x en -1, 2 #

lo que da

#x> -5 / 2 #. y # x en -1, 2 #

La intercepción de intervalos da # x en -1, 2 #

Uniendo las soluciones de los dos casos obtenemos:

# - oo, -5/2 uu -1, 2 #