¿Qué representa la velocidad instantánea en un gráfico?

Siempre que la gráfica sea de distancia como una función del tiempo, la pendiente de la línea tangente a la función en un punto dado representa la velocidad instantánea en ese punto.

Para tener una idea de esta pendiente, uno debe usar limites Por ejemplo, supongamos que a uno se le da una función de distancia #x = f (t) #, y uno desea encontrar la velocidad instantánea, o tasa de cambio de distancia, en el punto # p_0 = (t_0, f (t_0)) #, ayuda a examinar primero otro punto cercano, # p_1 = (t_0 + a, f (t_0 + a)) #, dónde #una# Es una constante arbitrariamente pequeña. La pendiente de la Linea secante Pasar por la gráfica en estos puntos es:

# f (t_0 + a) -f (t_0) / a #

Como # p_1 # enfoques # p_0 # (que ocurrirá como nuestro #una# disminuye), nuestro anterior #cociente de diferencias# Se acercará a un límite, aquí designado. # L #, que es la pendiente de la línea tangente en el punto dado. En ese punto, una ecuación punto-pendiente que utiliza nuestros puntos anteriores puede proporcionar una ecuación más exacta.

Si en cambio uno está familiarizado con diferenciación, y la función es continua y diferenciable en el valor dado de # t #, entonces simplemente podemos diferenciar la función. Dado que la mayoría de las funciones de distancia son funciones polinomiales, de la forma #x = f (t) = at ^ n + bt ^ (n-1) + ct ^ (n-2) + … + yt + z, # estos pueden ser diferenciados usando el regla de poder que establece que para una función #f (t) = en ^ n, (df) / dt # (o #pie)#) = # (n) en ^ (n-1) #.

Así, para nuestra función polinomial general anterior, #x '= f' (t) = (n) en ^ (n-1) + (n-1) bt ^ (n-2) + (n-2) ct ^ (n-3) + … + y # (Tenga en cuenta que desde #t = t ^ 1 # (como cualquier número elevado al primer poder es igual a sí mismo), reducir el poder en 1 nos deja con # t ^ 0 = 1 #, de ahí que el término final sea simplemente # y #. Tenga en cuenta también que nuestra # z # término, siendo una constante, no cambió con respecto a # t # y así se descartó en la diferenciación).

Esta #pie)# es la derivada de la función de distancia con respecto al tiempo; por lo tanto, mide la velocidad de cambio de la distancia con respecto al tiempo, que es simplemente la velocidad.