Pregunta # ecc3a

Responder:

#int (3dx) / (x ^ 2 + x + 1) = 2sqrt3arctan ((2x + 1) / sqrt3) + C #

Explicación:

#int (3dx) / (x ^ 2 + x + 1) #

=#int (12dx) / (4x ^ 2 + 4x + 4) #

=# 6int (2dx) / (2x + 1) ^ 2 + 3 #

=# 2sqrt3arctan ((2x + 1) / sqrt3) + C #

Responder:

#int 3 / (x ^ 2 + x + 1) dx = 2sqrt3tan ^ -1 ((2x + 1) / sqrt3) + C #

Explicación:

Cada vez que tenemos un cuadrático en el denominador y no #X#'s en el numerador, queremos obtener la integral en la siguiente forma:

#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #

En nuestro caso, podemos hacer esto completando el cuadrado y luego utilizando una sustitución.

# x ^ 2 + x + 1 = (x + 1/2) ^ 2 + k #

# x ^ 2 + x + 1 = x ^ 2 + x + 1/4 + k #

# k = 3/4 #

# x ^ 2 + x + 1 = (x + 1/2) ^ 2 + 3/4 #

# 3int 1 / (x ^ 2 + x + 1) dx = 3int 1 / ((x + 1/2) ^ 2 + 3/4) dx #

Queremos introducir una sustitución en u tal que:

# (x + 1/2) ^ 2 = 3 / 4u ^ 2 #

Podemos resolver para #X# para averiguar qué necesita ser esta sustitución:

# x + 1/2 = sqrt3 / 2u #

# x = sqrt3 / 2u-1/2 #

Integrar con respecto a # u #, multiplicamos por el derivado de #X# con respecto a # u #:

# dx / (du) = sqrt3 / 2 #

# 3int 1 / ((x + 1/2) ^ 2 + 3/4) dx = 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) du = #

# = 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3/4 (u ^ 2 + 1)) du = 3 * sqrt3 / 2 * 4 / 3int 1 / (u ^ 2 + 1) du = #

# = 2sqrt3tan ^ -1 (u) + C #

Ahora podemos resolver por # u # en términos de #X# para sustituir

# u = (2x + 1) / sqrt3 #

Esto significa que nuestra respuesta final es:

# 2sqrt3tan ^ -1 ((2x + 1) / sqrt3) + C #