Pregunta # 0df97

Responder:

La respuesta a 4 es. # e ^ -2 #.

Explicación:

El problema es:

#lim_ (x-> oo) ((2x + 2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

Ahora este es un problema difícil. La solución está en un reconocimiento de patrones muy cuidadoso. Puede recordar la definición de #mi#:

# e = lim_ (u-> oo) (1 + 1 / u) ^ u ~~ 2.718 … #

Si pudiéramos reescribir el límite como algo cercano a la definición de #mi#, tendríamos nuestra respuesta. Entonces, intentémoslo.

Tenga en cuenta que #lim_ (x-> oo) ((2x + 2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) # es equivalente a:

#lim_ (x-> oo) ((2x + 4-2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

Podemos dividir las fracciones así:

#lim_ (x-> oo) ((2x + 4) / (2x + 4) -2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

# = lim_ (x-> oo) (1-2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

¡Estamos llegando allí! Vamos a factorizar un #-2# desde la parte superior e inferior:

#lim_ (x-> oo) (1-2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

# = lim_ (x-> oo) (1 + ((- 2)) / (- 2 (-x-2))) ^ (2x + 2) #

# -> lim_ (x-> oo) (1+ (cancelar (-2)) / (cancelar (-2) (- x-2))) ^ (2x + 2) #

# = lim_ (x-> oo) (1 + 1 / (- x-2)) ^ (2x + 2) #

Apliquemos la sustitución. # u = -x-2-> x = -2-u #:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / (- x-2)) ^ (2x + 2) #

# = (1 + 1 / u) ^ (2 (-2-u) + 2 #

# = (1 + 1 / u) ^ (- 4-2u + 2) #

# = (1 + 1 / u) ^ (- 2u-2) #

Las propiedades de los exponentes dicen: # x ^ (a + b) = x ^ ax ^ b #

Asi que #lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2u-2) # es equivalente a:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2u) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

Las propiedades de los exponentes también dicen que: # x ^ (ab) = x ^ (a ^ b) #

Lo que significa que esto se reduce aún más a:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

# = lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

Por definición, #lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (u) = e #; y utilizando la sustitución directa en los rendimientos del segundo límite:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

# = 1 / (1 + 1 / oo) ^ (2) #

#=1/(1+0)^(2)#

#=1/1^(2)=1#

Así que la solución es …

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

# = (e) ^ - 2 (1) #

# = e ^ -2 #