Responder:
# dy / dx = -20 / 21 #
Explicación:
Necesitará conocer los conceptos básicos de la diferenciación implícita para este problema.
Sabemos que la pendiente de la línea tangente en un punto es la derivada; así que el primer paso será tomar la derivada. Vamos a hacerlo pieza por pieza, comenzando con:
# d / dx (3y ^ 2) #
Este no es demasiado difícil; solo tienes que aplicar la regla de la cadena y la regla de poder:
# d / dx (3y ^ 2) #
# -> 2 * 3 * y * dy / dx #
# = 6ydy / dx #
Ahora, en # 4xy #. Necesitaremos las reglas de poder, cadena y producto para este:
# d / dx (4xy) #
# -> 4d / dx (xy) #
# = 4 ((x) '(y) + (x) (y)') -> # Regla del producto: # d / dx (uv) = u'v + uv '#
# = 4 (y + xdy / dx) #
# = 4y + 4xdy / dx #
Bien al fin # x ^ 2y # (Más reglas de producto, poder y cadena):
# d / dx (x ^ 2y) #
# = (x ^ 2) '(y) + (x ^ 2) (y)' #
# = 2xy + x ^ 2dy / dx #
Ahora que hemos encontrado todos nuestros derivados, podemos expresar el problema como:
# d / dx (3y ^ 2 + 4xy + x ^ 2y) = d / dx (C) #
# -> 6ydy / dx + 4y + 4xdy / dx + 2xy + x ^ 2dy / dx = 0 #
(Recuerde que la derivada de una constante es #0#).
Ahora recopilamos términos con # dy / dx # por un lado y mover todo lo demás al otro:
# 6ydy / dx + 4y + 4xdy / dx + 2xy + x ^ 2dy / dx = 0 #
# -> 6ydy / dx + 4xdy / dx + x ^ 2dy / dx = - (4y + 2xy) #
# -> dy / dx (6y + 4x + x ^ 2) = - (4y + 2xy) #
# -> dy / dx = - (4y + 2xy) / (6y + 4x + x ^ 2) #
Todo lo que queda por hacer es conectar #(2,5)# para encontrar nuestra respuesta:
# dy / dx = - (4y + 2xy) / (6y + 4x + x ^ 2) #
# dy / dx = - (4 (5) +2 (2) (5)) / (6 (5) +4 (2) + (2) ^ 2) #
# dy / dx = - (20 + 20) / (30 + 8 + 4) #
# dy / dx = - (40) / (42) = - 20/21 #
