La contaminación en un ambiente normal es inferior al 0,01%. Debido a la fuga de un gas de una fábrica, la contaminación se incrementa al 20%. Si el 80% de la contaminación se neutraliza todos los días, ¿en cuántos días la atmósfera será normal (log_2 = 0.3010)?

Responder:

#ln (0.0005) / ln (0.2) ~ = 4.72 # dias

Explicación:

El porcentaje de contaminación está en #20%#, y queremos averiguar cuánto tiempo se tarda en bajar hasta #0.01%# Si la contaminación disminuye por #80%# todos los días.

Esto significa que cada día multiplicamos el porcentaje de contaminación por #0.2# (#100%-80%=20%)#. Si lo hacemos por dos días, sería el porcentaje multiplicado por #0.2#, multiplicado por #0.2# de nuevo, que es lo mismo que multiplicar por #0.2^2#. Podemos decir que si lo hacemos por #norte# días, nos multiplicaríamos por # 0.2 ^ n #.

#0.2# es la cantidad original de contaminación, y #0.0001# (#0.01%# en decimal) es la cantidad a la que queremos llegar. Nos preguntamos cuantas veces necesitamos multiplicar por #0.2# para llegar alli Podemos expresar esto en la siguiente ecuación:

# 0.2 * 0.2 ^ n = 0.0001 #

Para resolverlo, primero dividiremos ambos lados por #0.2#:

# (cancel0.2 * 0.2 ^ n) /cancel0.2=0.0001/0.2#

# 0.2 ^ n = 0.0001 / 0.2 = 0.0005 #

Ahora podemos tomar un logaritmo en ambos lados. El logaritmo que usamos no importa, estamos justo detrás de las propiedades del logaritmo. Voy a elegir el logaritmo natural, ya que está presente en la mayoría de las calculadoras.

#ln (0.2 ^ n) = ln (0.0005) #

Ya que #log_x (a ^ b) = blog_x (a) # Podemos reescribir la ecuación:

#nln (0.2) = ln (0.0005) #

Si dividimos ambos lados, obtenemos:

# n = ln (0.0005) / ln (0.2) ~ = 4.72 #